Normalverteilung - Sigma-Regeln, Matheübungen

Wahrscheinlichkeitsbestimmung bei gegebenem Intervall und umgekehrt; Begründung gegebener Aussagen - Lehrplan für 5.-13. Klasse - 11 Aufgaben in 3 Levels

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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
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    Für eine normalverteilte Zufallsgröße X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ sind oft Wahrscheinlichkeiten dafür von Interesse, dass X in einem um μ symmetrischen Intervall liegt. In diesem Fall helfen die so genannten Sigma-Regeln:
    • Intervall gegeben, Wahrscheinlichkeit gesucht
    P(X ∈ [μ - σ; μ + σ]) ≈ 0,683
    P(X ∈ [μ - 2σ; μ + 2σ]) ≈ 0,954
    P(X ∈ [μ - 3σ; μ + 3σ]) ≈ 0,997
    • Wahrscheinlichkeit gegeben, Intervall gesucht
    P(X ∈ [μ - 1,64σ; μ + 1,64σ]) ≈ 0,90
    P(X ∈ [μ - 1,96σ; μ + 1,96σ]) ≈ 0,950
    P(X ∈ [μ - 2,58σ; μ + 2,58σ]) ≈ 0,990
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 3
  • Begründe mithilfe der Sigma-Regeln.

    • Daria trainiert für die Teilnahme an einem 10km-Lauf. Ihre durchschnittliche Zeit für diese Distanz beträgt 35 Minuten. Es wird modellhaft angenommen, dass bei einem zufällig ausgewählten Rennen ihre 10km-Zeit um den Durchschnittswert normalverteilt ist und eine Standardabweichung von 2 Minuten besitzt.

    Daria schätzt: "Ich habe eine Chance von über 30%, bei der Deutschen Meisterschaft unter 33 Minuten zu bleiben."

    Begründe mithilfe einer Sigma-Regel, ob Darias Hoffnung im Rahmen des genannten Modells berechtigt ist.

  • keine Berechtigung
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie helfen die Sigma-Regeln bei normalverteilten Zufallsgrößen und wie lauten sie?
#1333
Für eine normalverteilte Zufallsgröße X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ sind oft Wahrscheinlichkeiten dafür von Interesse, dass X in einem um μ symmetrischen Intervall liegt. In diesem Fall helfen die so genannten Sigma-Regeln:
  • Intervall gegeben, Wahrscheinlichkeit gesucht
P(X ∈ [μ - σ; μ + σ]) ≈ 0,683
P(X ∈ [μ - 2σ; μ + 2σ]) ≈ 0,954
P(X ∈ [μ - 3σ; μ + 3σ]) ≈ 0,997
  • Wahrscheinlichkeit gegeben, Intervall gesucht
P(X ∈ [μ - 1,64σ; μ + 1,64σ]) ≈ 0,90
P(X ∈ [μ - 1,96σ; μ + 1,96σ]) ≈ 0,950
P(X ∈ [μ - 2,58σ; μ + 2,58σ]) ≈ 0,990
Beispiel 1
Ermittle für die normalverteilte Zufallsgröße X mit 
μ
=
52
 und 
σ
=
10
 nur mithilfe der Sigma-Regeln:
a) die Wahrscheinlichkeit, dass X um höchstens 20 von 52 abweicht
b) 
P
 
X
 
≥
 
62
Beispiel 2
Ermittle für die normalverteilte Zufallsgröße X mit 
μ
=
52
 und 
σ
=
10
 nur mithilfe der Sigma-Regeln:
a) ein Intervall I so, dass die Wahrscheinlichkeit 
P
 
X
 
∈
 
I
 ungefähr 99% beträgt
b) 
a
 
∈
 
ℝ
 so, dass 
P
 
a
 
≤
 
X
 
≤
 
52
 
≈
 
45%
Beispiel 3
Eine Physik-Lehrerin hat schon öfter Schülerinnen und Schüler einen Versuch zur Bestimmung der Fallbeschleunigung durchführen lassen. Im Durchschnitt haben diese über die Jahre hinweg den exakten Wert von 
9,81
 
m
s
2
 erhalten. Aus Erfahrung weiß sie jedoch auch, dass die von den Schülern gemessenen Werte durchaus eine gewisse Streuung aufweisen. Modellhaft kann von normalverteilten Messwerten mit einer Standardabweichung um 3% vom Erwartungswert ausgegangen werden.
Einer ihrer Schüler behauptet: "Dann kommen Werte unter 
9
 
m
s
2
 im Schnitt höchstens bei jedem zweihundertsten Versuch vor."
Begründe anhand einer Sigma-Regel, ob die Behauptung im Rahmen des Modells zutrifft.