Potenzen – Grundlagen
Produkte aus lauter gleichen Faktoren kann man als Potenz schreiben:
$$
a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a = a^n
$$
- a = Basis (der wiederholte Faktor)
- n = Exponent (gibt an, wie oft die Basis vorkommt)
- \(a^n\) = Potenz
- Wert der Potenz = Ergebnis der Rechnung
Potenzen mit negativer Basis
Gerader Exponent
Ist der Exponent eine gerade Zahl, wird der Potenzwert positiv:
$$
(-4)^2 = 16
$$
Ungerader Exponent
Ist der Exponent eine ungerade Zahl, wird der Potenzwert negativ:
$$
(-4)^3 = -64
$$
Merke: Bei einer negativen Zahl als Basis bestimmt die Parität (gerade/ungerade) des Exponenten das Vorzeichen des Ergebnisses.
Wichtig: Vorzeichen und Klammern
Soll eine negative Zahl potenziert werden, muss sie als Basis umklammert werden.
$$
(-4)^2 = 16
$$
Ohne Klammern bezieht sich der Exponent nicht auf das Minuszeichen, sondern nur auf die nachfolgende Zahl.
$$
-4^2 = -16
$$
Negative Exponenten
Teilt man eine Potenz sukzessive durch die Basis, erhält man Potenzen mit negativen Exponenten:
$$
a^1,\quad a^0,\quad a^{-1},\quad a^{-2},\quad \ldots
$$
Für \(a \neq 0\) gilt:
$$
a^{-n} = \frac{1}{a^n}
$$
Beispiel:
$$
4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}
$$
Spezialfälle
$$
a^1 = a
$$
$$
a^0 = 1 \qquad (a \neq 0)
$$
Potenz als Produkt
Eine Potenz kann immer als Produkt ausgeschrieben werden:
$$
3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3
$$
