Potenzfunktionen mit negativem Exponenten, Matheübungen

Zuordnung Term - Graph, Wertemenge bestimmen - Lehrplan für 5.-11. Klasse

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  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Unter Wertemenge versteht man alle möglichen Funktionswerte f(x), also alle y-Werte, die sich ergeben können.
  • Eine Funktion mit dem Term f(x) = a·x−n = a/xn (n natürliche Zahl, a≠0, x≠0) nennt man Potenzfunktion mit negativem Exponenten. Den zugehörigen Graphen nennt man Hyperbel der Ordnung n. Beachte:
    • x- und y-Achse sind Asymptoten des Graphen Gf.
    • Ist n gerade, so ist Gf symmetrisch zur y-Achse. Ist n ungerade, so ist Gf symmetrisch zum Ursprung des KOSY.
    • Ist a positiv, so verläuft Gf u.a. durch den ersten Quadranten des KOSY, ansonsten durch den vierten.

Gib die Wertemenge an.

  • f
     
    x
    =
    −
    0,5
    x
    7
    W
    =
     
    ℝ
    −
        
     
    ℝ
    −
    0
        
     
    ℝ
    +
        
     
    ℝ
    +
    0
        
     
    ℝ
     
    \
     
    {0}
        
     
    ℝ
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Was beschreibt die Funktionsgleichung und welche Eigenschaften hat der Graph einer Potenzfunktion mit negativem Exponenten?
#1247
Eine Funktion mit dem Term f(x) = a·x−n = a/xn (n natürliche Zahl, a≠0, x≠0) nennt man Potenzfunktion mit negativem Exponenten. Den zugehörigen Graphen nennt man Hyperbel der Ordnung n. Beachte:
  • x- und y-Achse sind Asymptoten des Graphen Gf.
  • Ist n gerade, so ist Gf symmetrisch zur y-Achse. Ist n ungerade, so ist Gf symmetrisch zum Ursprung des KOSY.
  • Ist a positiv, so verläuft Gf u.a. durch den ersten Quadranten des KOSY, ansonsten durch den vierten.
Beispiel

Bestimme den Wert des Parameters \( a \) für die Potenzfunktion \( f(x) = a \cdot x^{-3} \), sodass ihr Graph durch den Punkt \( \left( \frac{1}{2}, 16 \right) \) verläuft.