Quadratische Funktionen - Textaufgaben, Matheübungen

Modellieren mit quadratischen Funktionen, Extremwertaufgaben - Lehrplan

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Die Quersumme der gesuchten Zahl lautet 18.
  • Entnimm dem Text Informationen über die Nullstellen oder den Scheitelpunkt und bestimmte fehlende Parameter durch Einsetzen eines Punkts, der auf der Parabel liegt.
  • Bestimmte Bewegungsvorgänge (z.B. Ballwurf) und bestimmte Formen (z.B. ein an zwei Stellen befestigtes Seil) können näherungsweise als Teile von Parabeln aufgefasst werden und daher durch quadratische Funktionen modelliert werden. Sind von der Parabel ...
    • ... drei beliebige Punkte bekannt, sollte man ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter a, b und c der allgemeinen Form zu bestimmen.
    • ... der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Scheitelform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
    • ... die beiden Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Nullstellenform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.

Bestimme möglichst geschickt einen Term für die Parabel und beantworte die Frage im Sachzusammenhang.

  • Eine Hängebrücke hat zwei Pfeiler, die jeweils 250m über die Straßenebene hinausragen und einen Abstand von 1200m besitzen. Die Haupttragseile, die an den Spitzen der Pfeiler aufgehängt sind, verlaufen in etwa parabelförmig. Im Abstand von jeweils 100m sind senkrechte Tragseile gespannt, die die Straße tragen und "Hänger" genannt werden. Die längsten Hänger sind 100m von den Pfeilern entfernt, die kürzesten Hänger besitzen eine Länge von 50m. Bestimme die Länge der längsten Hänger auf ganze Meter gerundet.
    In der Abbildung der Brücke ist ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 100m so ergänzt, dass die x-Achse der Straßenebene und ein Teil der y-Achse dem linken Pfeiler entspricht:
    graphik
    Der zu den Stahlseilen in diesem Koordinatensystem passende Funktionsterm lautet:
    f(x)
    =
     
     
    ·
    x
    −
    2
     
    +
     
    Die längsten Hänger besitzen eine Länge von ca. Metern.
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Wie modelliert man Parabeln in Sachzusammenhängen abhängig von gegebenen Punkten?
#926
Bestimmte Bewegungsvorgänge (z.B. Ballwurf) und bestimmte Formen (z.B. ein an zwei Stellen befestigtes Seil) können näherungsweise als Teile von Parabeln aufgefasst werden und daher durch quadratische Funktionen modelliert werden. Sind von der Parabel ...
  • ... drei beliebige Punkte bekannt, sollte man ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter a, b und c der allgemeinen Form zu bestimmen.
  • ... der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Scheitelform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
  • ... die beiden Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Nullstellenform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
Wie löst man Extremwertaufgaben in vier Schritten?
#658
Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
  1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
  2. Term in Abhängigkeit von einer Variable (z.B. "x") darstellen
  3. Term in Nullstellen- oder Scheitelpunktform umwandeln
  4. Extremwert und zugehöriges "x" bestimmen
Beispiel
Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basislänge 4 und der Höhe 3,5 ist ein Rechteck einbeschrieben. Bestimme Länge und Breite des Rechtecks mit dem maximalen Flächeninhalt.