Quadratische Funktionen - Textaufgaben, Matheübungen

Modellieren mit quadratischen Funktionen, Extremwertaufgaben - Lehrplan - 10 Aufgaben in 3 Levels

Hilfe
  • Beispiel zum Level
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Stoff zum Level
    Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
    1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
    2. Term in Abhängigkeit von einer Variable (z.B. "x") darstellen
    3. Term in Nullstellen- oder Scheitelpunktform umwandeln
    4. Extremwert und zugehöriges "x" bestimmen
  • Tipp zum Level
    Stelle einen Term für den gesuchten Flächeninhalt auf und bestimme dessen Maximum.
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 3
  • Bestimme den größtmöglichen Inhalt für die markierte Fläche.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • graphik
    In einem Leichtathletik-Stadion besteht die 400m-Laufbahn aus zwei Halbkreisbögen mit Radius r und zwei Strecken der Länge l. Die beiden Strecken begrenzen zusammen mit den beiden Durchmessern der Kreisbögen ein reckteckiges Flächenstück mit dem Flächeninhalt A, das z.B. als Fußballfeld genutzt werden kann (vgl. Abbildung). Ermittle, wie der Radius r der Kreisbögen gewählt werden muss, damit A möglichst groß wird, und gib den maximalen Wert für A an. Runde das Ergebnis auf ganze Quadratmeter. (Hinweis: Zwischenergebnisse sollten nicht gerundet werden.)
    Maximaler Wert für den Flächeninhalt ca. 
     ▉ 
     
    m
    2
    Schritt 1 von 4
    Wähle jeweils den passenden Term aus.
    Für den Flächeninhalt des rechteckigen Feldes:
     
    A
    =
    π
    ·
    r
        
    A
    =
    2π
    ·
    r
     
    A
    =
    r
    ·
    l
        
    A
    =
    2r
    ·
    l
    Für die Länge l in Abhängigkeit vom Radius r (ohne Berücksichtigung der Einheit):
     
    l
    =
    400
    −
    πr
        
    l
    =
    400
    −
    2r
     
    l
    =
    200
    −
    πr
        
    l
    =
    200
    −
    2r
    Für den Funktionsterm von A in Abhängigkeit von r:
     
    A(r)
    =
    2r
    ·
    200
    −
    πr
        
    A(r)
    =
    πr
    ·
    200
    −
    2r
     
    A(r)
    =
    2r
    ·
    400
    −
    2r
        
    A(r)
    =
    r
    ·
    400
    −
    πr
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
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  • Achtung
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie modelliert man Parabeln in Sachzusammenhängen abhängig von gegebenen Punkten?
#926
Bestimmte Bewegungsvorgänge (z.B. Ballwurf) und bestimmte Formen (z.B. ein an zwei Stellen befestigtes Seil) können näherungsweise als Teile von Parabeln aufgefasst werden und daher durch quadratische Funktionen modelliert werden. Sind von der Parabel ...
  • ... drei beliebige Punkte bekannt, sollte man ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter a, b und c der allgemeinen Form zu bestimmen.
  • ... der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Scheitelform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
  • ... die beiden Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Nullstellenform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
Wie löst man Extremwertaufgaben in vier Schritten?
#658
Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
  1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
  2. Term in Abhängigkeit von einer Variable (z.B. "x") darstellen
  3. Term in Nullstellen- oder Scheitelpunktform umwandeln
  4. Extremwert und zugehöriges "x" bestimmen
Beispiel
Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basislänge 4 und der Höhe 3,5 ist ein Rechteck einbeschrieben. Bestimme Länge und Breite des Rechtecks mit dem maximalen Flächeninhalt.