Quadratwurzeln - Termumformung ohne Binomische Formeln, Matheaufgaben

Rechnen mit Quadratwurzeln unter Anwendung des D-Gesetzes, auch mit Variablen - 61 Aufgaben in 10 Levels

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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Erweitere mit der Wurzel bzw. den Wurzeln im Nenner.
  • Hilfe zum Thema
    Rationalmachen des Nenners bedeutet, einen Bruch so umzuformen, dass der Nenner wurzelfrei ist. Meistens erreicht man das durch Erweitern:
    • steht √a im Nenner, so erweitert man mit √a
    • steht √a + √b im Nenner, so erweitert man mit √a − √b (3. binomische Formel)
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 5
  • Forme so um, dass keine Wurzel mehr im Nenner vorkommt und vereinfache soweit wie möglich.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • 9
    2
    ·
    20
    =
     ▉ 
    ·
     ▉ 
     ▉ 
    Schritt 1 von 3
    Vereinfache zunächst im Nenner:
    9
    2
    ·
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    =
    9
    ·
    5
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Stoff zum Thema (+Video)
Quadratwurzeln - Termumformungen mit Variablen Teil 1
Lernvideo

Quadratwurzeln - Termumformungen mit Variablen Teil 1

Kanal: Mathegym
Wie lauten die Rechenregeln für Quadratwurzeln und was bedeutet "teilweise radizieren"?
#713

Ein Produkt von Wurzeln lässt sich als Produkt unter einer Wurzel schreiben und umgekehrt. Sofern weder \(a\) noch \(b\) negativ sind, gilt also

\[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \]

Ein Quotient von Wurzeln lässt sich als Quotient unter einer Wurzel schreiben und umgekehrt. Sofern weder \(a\) noch \(b\) negativ sind, gilt also

\[ \sqrt{a} : \sqrt{b} = \sqrt{a : b} \]

Nach dem Distributivgesetz können gleiche Wurzeln (bzw. Vielfache davon) addiert und subtrahiert werden:

\[ a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a + b)\sqrt{c} \]

Beachte dabei: \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b} \)

Oft kann man teilweise die Wurzel ziehen. Sofern \(a\) nicht negativ ist, kann man den Faktor \(a^2\) unabhängig vom Faktor \(b\) radizieren:

\[ \sqrt{a^2 \cdot b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = a \cdot \sqrt{b} \]
Was besagt das Distributivgesetz in der Mathematik?
#119
Distributivgesetz:

a · (b + c ) = a · b + a · c    ("Klammer ausmultiplizieren")

(a + b ) : c = a : c + b : c

Statt + kann man auch − einsetzen, d.h. das Distributivgesetz gilt für Summen wie auch für Differenzen, die mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl dividiert werden.

Beispiel 1
3
·
3
−
27
=
?
Beispiel 2
Vereinfache:
3
 
32
−
108
·
5
 
3
−
6
Beispiel 3
Vereinfache:
12
+
20
−
2
 
27
·
5
36
Wie funktioniert die Multiplikation und Division von Quadratwurzeln und was versteht man unter teilweisem Radizieren?
#228

Ein Produkt von Wurzeln lässt sich als Produkt unter einer Wurzel schreiben und umgekehrt. Sofern weder \(a\) noch \(b\) negativ sind, gilt also

\[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \]

Unter anderem ermöglicht diese Regel, Wurzeln teilweise zu radizieren. Sofern \(a\) nicht negativ ist, kann man den Faktor \(a^2\) unabhängig vom Faktor \(b\) radizieren:

\[ \sqrt{a^2 \cdot b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = a \cdot \sqrt{b} \]
Beispiel
Radiziere teilweise:
720
=
?
Was bedeutet Rationalmachen des Nenners und wie wird es durchgeführt?
#270
Rationalmachen des Nenners bedeutet, einen Bruch so umzuformen, dass der Nenner wurzelfrei ist. Meistens erreicht man das durch Erweitern:
  • steht √a im Nenner, so erweitert man mit √a
  • steht √a + √b im Nenner, so erweitert man mit √a − √b (3. binomische Formel)
Wie kann man \( \sqrt{a^2} \) vereinfachen, wenn a auch negativ sein könnte?
#229
Beachte beim Rechnen mit Variablen, dass (weil a auch negativ sein könnte)

√(a²) = | a |

Der Betragstrich ist nicht nötig, wenn a < 0 ausgeschlossen werden kann. Ist hingegen bekannt, dass a negativ ist, kann man statt des Betrags auch konkret schreiben

√(a²) = −a

Ob eine Variable unter der Wurzel positiv oder negativ ist, erschließt sich oft indirekt aus der Aufgabenstellung.

Beispiel 1
Vereinfache (x ≠ 0)
3
 
−
4x
2
y
:
12y
4
Beispiel 2
Vereinfache (a > 0, b > 0):
a
2
+
ab
−
a
+
b
:
a
−
1
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