Satz des Pythagoras - Figuren, Matheübungen

Längenberechnungen in Figuren und Konstruktion irrationaler Längen mit Hilfe der Satzgruppe des Pythagoras

Hilfe
  • Zeichnet man in einem rechtwinkligen Dreieck die Höhe (durch den rechten Winkel) ein, so wird die Hypotenuse in zwei Abschnitte unterteilt. Es gelten der Höhen- und der Kathetensatz:

    Höhe2 = Produkt der Hypotenusenabschnitte

    Kathete2 = Hypotenuse · anliegender Abschnitt

Konstruiere mit Zirkel und Lineal.

  • Ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt wie das Rechteck mit Hilfe des Kathetensatzes.
    graphik
    Versuche es zuerst selbst und kreuze dann erst an, welche Konstruktionsschritte weiter führen:
    Thaleskreis über AD
    Thaleskreis über CD
    Kreis um D durch A
    Kreis um A durch B
    In A ein Lot auf AD errichten
    Lot auf CD in geeignetem Punkt errichten
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
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Satz des Pythagoras + Beweis mittels Ähnlichkeit
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Kanal: Mathegym
Wie lautet der Satz des Pythagoras ohne Verwendung von Variablen?
#394
Nach dem Satz des Pythagoras gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck:

Hypotenuse2 = erste Kathete2 + zweite Kathete2

Zur Erinnerung: Die Hypotenuse ist diejenige der drei Seiten, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Sie ist damit auch immer die längste aller drei Seiten.
Beispiel 1
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit ∠A = 90°; a = 3; b = 2. Bestimme c.
Beispiel 2
Bestimme x.
graphik
Beispiel 3
Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit Basis b = 5 LE und Flächeninhalt A = 31 FE. Berechne die Länge seiner Schenkel s.
Wie berechnet man die Entfernung zwischen zwei Punkten in der Ebene?
#883

Die Entfernung zweier Punkte A und B erhält man, indem man ein rechtwinkliges Dreieck mit AB als Hypotenuse und den Kathetenlängen xB − xA und yB − yA (gemeint sind die x- und y-Koordinaten von A und B) betrachtet. Nach dem Satz des Pythagoras muss man die Quadrate beider Differenzen summieren und aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen, um die Entfernung zwischen A und B zu erhalten.

Was besagen der Höhen- und der Kathetensatz in einem rechtwinkligen Dreieck ohne Verwendung von Variablen?
#395
Zeichnet man in einem rechtwinkligen Dreieck die Höhe (durch den rechten Winkel) ein, so wird die Hypotenuse in zwei Abschnitte unterteilt. Es gelten der Höhen- und der Kathetensatz:

Höhe2 = Produkt der Hypotenusenabschnitte

Kathete2 = Hypotenuse · anliegender Abschnitt

Beispiel 1
Konstruiere
 
24
  • mit Hilfe des Höhensatzes
  • mit Hilfe des Kathetensatzes
  • mit Hilfe des Satzes von Pythagoras
Beispiel 2
Bestimme in den skizzierten Dreiecken jeweils x.
graphik
Beispiel
Bestimme den Abstand des Punktes P(-5|3) von der Geraden y=3x-1 mit Hilfe von Pythagoras und quadratischer Ergänzung.
Wie löst man Extremwertaufgaben in vier Schritten?
#889
Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
  1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
  2. Term in Abhängigkeit von x angeben
  3. Term umformen mithilfe der quadratischen Ergänzung.
  4. Extremwert und zugehöriges x ablesen.
Beispiel
Auf der Geraden 
g:
 
y
=
2x
−
1
 liegen die Punkte 
A
n
 
x
 
|
 
2x
−
1
 die mit B(0|4) die Strecken 
A
n
 
B
 bilden. Für welchen Wert von x ist 
c
=
A
n
 
B
 minimal? Wie lang ist dann 
c
min
?

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