Stochastik - Urnenmodell, Matheübungen

Modellieren von Zufallsexperimenten

Hilfe
  • Im Urnenmodell wird ein Behälter (Urne) benutzt, um Laplace-Experimente zu modellieren. Dazu wird die Urne mit einer bestimmten Anzahl Kugeln gefüllt, die bis auf eine Eigenschaft (z.B. Farbe) nicht unterscheidbar sind. Beim zufälligen Ziehen einer Kugel aus der Urne sollen alle Kugeln dieselbe Auswahlwahrscheinlichkeit haben. Es gibt die Unterscheidungen "Ziehen mit/ohne Zurücklegen" und "mit/ohne Beachtung der Reihenfolge" der gezogenen Kugeln.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Wähle das passende Urnenmodell.

  • Ein Administrator einer Schule möchte mit einem Zufallsgenerator ein vierstelliges Initialpasswort zur ersten Anmeldung an der Schulhomepage erzeugen, dieses soll aus Grundbuchstaben des deutschen Alphabets (A, B, C, …, Z) und Ziffern (0, 1, 2, …, 9) bestehen, z.B. 67A5 oder ZGG1.
    Dazu passt folgendes Urnenmodell:
    a) Eine Urne enthält 26 kleine Würfel, die mit den Buchstaben A bis Z beschriftet sind sowie zehn kleine Kugeln, die mit den Ziffern 0 bis 9 beschriftet sind. Es wird viermal hintereinander ohne Zurücklegen gezogen.
    b) Eine Urne enthält 36 identischen Kugeln, die mit den Buchstaben A bis Z und den Ziffern 0 bis 9 beschriftet sind. Es wird viermal hintereinander ohne Zurücklegen gezogen.
    c) Eine Urne enthält 26 kleine Würfel, die mit den Buchstaben A bis Z beschriftet sind sowie zehn kleine Kugeln, die mit den Ziffern 0 bis 9 beschriftet sind. Es wird viermal hintereinander mit Zurücklegen gezogen.
    d) Eine Urne enthält 36 identischen Kugeln, die mit den Buchstaben A bis Z und den Ziffern 0 bis 9 beschriftet sind. Es wird viermal hintereinander mit Zurücklegen gezogen.
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Was ist das Urnenmodell in der Stochastik und wie wird es verwendet?
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Im Urnenmodell wird ein Behälter (Urne) benutzt, um Laplace-Experimente zu modellieren. Dazu wird die Urne mit einer bestimmten Anzahl Kugeln gefüllt, die bis auf eine Eigenschaft (z.B. Farbe) nicht unterscheidbar sind. Beim zufälligen Ziehen einer Kugel aus der Urne sollen alle Kugeln dieselbe Auswahlwahrscheinlichkeit haben. Es gibt die Unterscheidungen "Ziehen mit/ohne Zurücklegen" und "mit/ohne Beachtung der Reihenfolge" der gezogenen Kugeln.
Beispiel 1
Beim Lottospiel "6 aus 49" kann ein Spieler auf bis zu sechs richtige Zahlen getippt haben (Minimum: null). Konzipiere für die Zufallsgröße "Anzahl Richtiger" ein passendes Urnenmodell.
Beispiel 2
Eine Urne enthält fünf Kugeln, die mit 1, 2, 3, 4 und 5 beschriftet sind. Aus dieser Urne wird zweimal eine Kugel gezogen und die entstehende zweistellige Zahl (1. Kugel Zehnerstelle, 2. Kugel Einerstelle) notiert.  
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ...
a) ... beim Ziehen mit Zurücklegen eine Zahl über 50 gezogen wird?  
b) ... beim Ziehen ohne Zurücklegen die Zahl 15 gezogen wird?
Beispiel 3
In einer vollen Schachtel Pralinen befinden sich zwölf Marzipan-Pralinen und acht Schoko-Pralinen. Es werden mit einem Griff acht Pralinen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den entnommenen Pralinen genau drei Marzipan-Pralinen befinden?
Beispiel 4
Aus einer Pralinenschachtel mit 20 unterschiedlichen Pralinen werden mit einem Griff acht Pralinen entnommen.
a) Gib ein passendes Urnenmodell an!
b) Auf wie viele verschiedene Arten ist dies möglich?
Beispiel 5
Eine Urne enthält fünf Kugeln, die mit 1, 2, 3, 4 und 5 beschriftet sind. Aus dieser Urne wird zweimal eine Kugel gezogen und die entstehende zweistellige Zahl (1. Kugel Zehnerstelle, 2. Kugel Einerstelle) notiert.
Bestimme jeweils die Anzahl der möglichen zweistelligen Zahlen, wenn
a) die gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird,
b) die gezogene Kugel nicht wieder zurückgelegt wird.
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es bei a) und b) für die Ziehung eines Pasches?

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