Stochastik - Urnenmodell, Matheübungen

Modellieren von Zufallsexperimenten

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 14253900.
  • Im Urnenmodell wird ein Behälter (Urne) benutzt, um Laplace-Experimente zu modellieren. Dazu wird die Urne mit einer bestimmten Anzahl Kugeln gefüllt, die bis auf eine Eigenschaft (z.B. Farbe) nicht unterscheidbar sind. Beim zufälligen Ziehen einer Kugel aus der Urne sollen alle Kugeln dieselbe Auswahlwahrscheinlichkeit haben. Es gibt die Unterscheidungen "Ziehen mit/ohne Zurücklegen" und "mit/ohne Beachtung der Reihenfolge" der gezogenen Kugeln.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.

Gib die Anzahl der Möglichkeiten an!

  • Ein fiktives Lottospiel besteht aus 50 Kugeln in einer Urne, von denen fünf schwarz und 45 weiß sind. Es werden sechs Kugeln mit einem Griff gezogen.
    Wie viele verschiedene Möglichkeiten der Ziehung gibt es bei künstlicher Unterscheidung aller Kugeln, wenn ...
    a) ... genau eine schwarze Kugel gezogen werden soll?
    b) ... alle fünf schwarzen Kugeln gezogen werden sollen?
    c) ... nur weiße Kugeln gezogen werden sollen?
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Was ist das Urnenmodell in der Stochastik und wie wird es verwendet?
#1217
Im Urnenmodell wird ein Behälter (Urne) benutzt, um Laplace-Experimente zu modellieren. Dazu wird die Urne mit einer bestimmten Anzahl Kugeln gefüllt, die bis auf eine Eigenschaft (z.B. Farbe) nicht unterscheidbar sind. Beim zufälligen Ziehen einer Kugel aus der Urne sollen alle Kugeln dieselbe Auswahlwahrscheinlichkeit haben. Es gibt die Unterscheidungen "Ziehen mit/ohne Zurücklegen" und "mit/ohne Beachtung der Reihenfolge" der gezogenen Kugeln.
Beispiel 1
Beim Lottospiel "6 aus 49" kann ein Spieler auf bis zu sechs richtige Zahlen getippt haben (Minimum: null). Konzipiere für die Zufallsgröße "Anzahl Richtiger" ein passendes Urnenmodell.
Beispiel 2
Eine Urne enthält fünf Kugeln, die mit 1, 2, 3, 4 und 5 beschriftet sind. Aus dieser Urne wird zweimal eine Kugel gezogen und die entstehende zweistellige Zahl (1. Kugel Zehnerstelle, 2. Kugel Einerstelle) notiert.  
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ...
a) ... beim Ziehen mit Zurücklegen eine Zahl über 50 gezogen wird?  
b) ... beim Ziehen ohne Zurücklegen die Zahl 15 gezogen wird?
Beispiel 3
Aus einer Pralinenschachtel mit 20 unterschiedlichen Pralinen werden mit einem Griff acht Pralinen entnommen.
a) Gib ein passendes Urnenmodell an!
b) Auf wie viele verschiedene Arten ist dies möglich?
Beispiel 4
In einer vollen Schachtel Pralinen befinden sich zwölf Marzipan-Pralinen und acht Schoko-Pralinen. Es werden mit einem Griff acht Pralinen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den entnommenen Pralinen genau drei Marzipan-Pralinen befinden?
Beispiel 5
Eine Urne enthält fünf Kugeln, die mit 1, 2, 3, 4 und 5 beschriftet sind. Aus dieser Urne wird zweimal eine Kugel gezogen und die entstehende zweistellige Zahl (1. Kugel Zehnerstelle, 2. Kugel Einerstelle) notiert.
Bestimme jeweils die Anzahl der möglichen zweistelligen Zahlen, wenn
a) die gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird,
b) die gezogene Kugel nicht wieder zurückgelegt wird.
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es bei a) und b) für die Ziehung eines Pasches?

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