Stochastik - Urnenmodell, Matheübungen

Modellieren von Zufallsexperimenten - 25 Aufgaben in 5 Levels

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    Im Urnenmodell wird ein Behälter (Urne) benutzt, um Laplace-Experimente zu modellieren. Dazu wird die Urne mit einer bestimmten Anzahl Kugeln gefüllt, die bis auf eine Eigenschaft (z.B. Farbe) nicht unterscheidbar sind. Beim zufälligen Ziehen einer Kugel aus der Urne sollen alle Kugeln dieselbe Auswahlwahrscheinlichkeit haben. Es gibt die Unterscheidungen "Ziehen mit/ohne Zurücklegen" und "mit/ohne Beachtung der Reihenfolge" der gezogenen Kugeln.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 2
  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit der angegebenen Ereignisse! Ergebnis(se) mit 2 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • In einem Osternest liegen 50 gleichartige Ostereier, von denen fünf blau und 45 rot gefärbt sind. Man entnimmt dem Nest sechs Ostereier ohne Hinzuschauen mit einem Griff. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der gezogenen blauen Ostereier.
    Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass ...  
    a) ... genau ein blaues Osterei dabei ist. 
     
    b) ... alle fünf blauen Ostereier dabei sind. 
    ·
    10
    −
    6
    c) ... nur rote Ostereier entnommen werden. 
  • keine Berechtigung
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Stoff zum Thema
Was ist das Urnenmodell in der Stochastik und wie wird es verwendet?
#1217
Im Urnenmodell wird ein Behälter (Urne) benutzt, um Laplace-Experimente zu modellieren. Dazu wird die Urne mit einer bestimmten Anzahl Kugeln gefüllt, die bis auf eine Eigenschaft (z.B. Farbe) nicht unterscheidbar sind. Beim zufälligen Ziehen einer Kugel aus der Urne sollen alle Kugeln dieselbe Auswahlwahrscheinlichkeit haben. Es gibt die Unterscheidungen "Ziehen mit/ohne Zurücklegen" und "mit/ohne Beachtung der Reihenfolge" der gezogenen Kugeln.
Beispiel 1
Beim Lottospiel "6 aus 49" kann ein Spieler auf bis zu sechs richtige Zahlen getippt haben (Minimum: null). Konzipiere für die Zufallsgröße "Anzahl Richtiger" ein passendes Urnenmodell.
Beispiel 2
In einer vollen Schachtel Pralinen befinden sich zwölf Marzipan-Pralinen und acht Schoko-Pralinen. Es werden mit einem Griff acht Pralinen entnommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den entnommenen Pralinen genau drei Marzipan-Pralinen befinden?
Beispiel 3
Aus einer Pralinenschachtel mit 20 unterschiedlichen Pralinen werden mit einem Griff acht Pralinen entnommen.
a) Gib ein passendes Urnenmodell an!
b) Auf wie viele verschiedene Arten ist dies möglich?
Beispiel 4
Eine Urne enthält fünf Kugeln, die mit 1, 2, 3, 4 und 5 beschriftet sind. Aus dieser Urne wird zweimal eine Kugel gezogen und die entstehende zweistellige Zahl (1. Kugel Zehnerstelle, 2. Kugel Einerstelle) notiert.  
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ...
a) ... beim Ziehen mit Zurücklegen eine Zahl über 50 gezogen wird?  
b) ... beim Ziehen ohne Zurücklegen die Zahl 15 gezogen wird?
Beispiel 5
Eine Urne enthält fünf Kugeln, die mit 1, 2, 3, 4 und 5 beschriftet sind. Aus dieser Urne wird zweimal eine Kugel gezogen und die entstehende zweistellige Zahl (1. Kugel Zehnerstelle, 2. Kugel Einerstelle) notiert.
Bestimme jeweils die Anzahl der möglichen zweistelligen Zahlen, wenn
a) die gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird,
b) die gezogene Kugel nicht wieder zurückgelegt wird.
c) Wie viele Möglichkeiten gibt es bei a) und b) für die Ziehung eines Pasches?