Trigonometrie - allgemeine Sinusfunktion, Matheaufgaben

Abwandlungen der normalen Sinuskurve (bzgl. Amplitude, Periode, Verschiebung in x- und y-Richtung)

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y
=
−

1

2

·
sin(x)

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Allgemeine Sinusfunktion

Kanal: Mathegym

Wie verändert sich die normale Sinuskurve zu y = a·sin(x + c) + d?

#846

Der Graph der Funktion y = a·sin(x+c)+d entsteht aus der normalen Sinuskurve durch:

Streckung (|a|>1) bzw. Stauchung (|a|<1) in y-Richtung mit dem Faktor |a|; zusätzlich Spiegelung an der x-Achse, wenn a negativ ist
Verschiebung um |c| Einheiten nach links (c>0) bzw. nach rechts (c<0)
Verschiebung um |d| Einheiten nach unten (d<0) bzw. nach oben (d>0)

Für den Kosinus gelten die selben Gesetzmäßigkeiten.

Beispiel

Zeichne die Graphen zu folgenden Funktionen:

0,5

sin

−

cos

−

1,5

cos

Wie beeinflussen Parameter die Amplitude und Periode der Sinusfunktion und wann kommt es zu Streckung, Stauchung oder Spiegelung?

#337

Durch bestimmte Vorfaktoren lassen sich Amplitude und Periode der normalen Sinuskurve verändern. Amplitude beschreibt die Ausprägung in y-Richtung, normalerweise beträgt sie 1. Unter Periode versteht man die Länge des Intervalls, indem sich der Graph nicht wiederholt, normalerweise beträgt diese 2π. Gegenüber der normalen Sinuskurve (Kosinus analog) ist der Graph der Funktion

y = a·sin(x) in y-Richtung gestreckt (|a| > 1) bzw. gestaucht (|a| < 1). Ist a negativ, erscheint der Graph zudem an der x-Achse gespiegelt.
y = sin(b·x), b>0, in x-Richtung gestreckt (0 < b < 1) bzw. gestaucht (b > 1). Ihre Periode ergibt sich aus 2π / b.

Beispiel

Der unten abgebildete Graph gehört zu einer Gleichung der Form

sin

, wobei a>0 und b>0

Bestimme a und b.

Wie beeinflussen die Parameter c und d die Verschiebung der Sinusfunktion in x- und y-Richtung?

#338

Gegenüber der normalen Sinuskurve (Kosinus analog) ist der Graph der Funktion

y = sin(x + c) in x-Richtung nach rechts (c < 0) bzw. links (c > 0) verschoben.
y = sin(x) + d in y-Richtung nach oben (d > 0) bzw. unten (d < 0) verschoben.

Beispiel

Gib die zum Graph passende Funktionsgleichung an:

sin

−

Wie beeinflusst der Faktor b die Periode und Nullstellen der Funktionen y = sin(b·x) und y = cos(b·x)?

#847

Die Funktion f(x) = sin(b·x); b>0 bzw. deren Graph

ist gegenüber der normalen Sinuskurve in x-Richtung gestreckt (b<1) bzw. gestaucht (b>1).
besitzt die Periode 2π / b
und damit folgende Nullstellen: außer 0 die halbe Periode und alle (positiven wie negativen) Vielfachen davon.

Für den Kosinus gelten bzgl. Streckung/Stauchung und Periode dieselben Gesetzmäßigkeiten; das Rezept für die Nullstellen lautet hier: Nimm eine viertel Periode und addiere dazu (bzw. ziehe ab) eine halbe Periode (bzw. Vielfache davon).

Beispiel

Zeichne die Graphen zu folgenden Funktionen:

sin

cos

Wie bestimmt man Amplitude, Periode und Nullstellen der Funktion f(x) = a·sin(b·x) mit b>0?

#494

Die Funktion f(x) = a·sin(b·x); b>0 bzw. deren Graph besitzt:

die Amplitude |a|,
die Periode 2π / b
und damit folgende Nullstellen: außer 0 die halbe Periode und alle (positiven wie negativen) Vielfachen davon.

Für den Kosinus gelten bzgl. Amplitude und Periode dieselben Gesetzmäßigkeiten; das Rezept für die Nullstellen lautet hier: Nimm eine viertel Periode und addiere dazu (bzw. ziehe ab) eine halbe Periode (bzw. Vielfache davon).

Wie transformiert man die Standard-Sinuskurve zur Funktion y = a·sin[b·(x + c)], b>0?

#342

Der Graph der Funktion y = a·sin[b·(x + c)] ; b>0 entsteht aus der normalen Sinuskurve durch folgende Schritte:

Streckung/Stauchung in x-Richtung; die Periode ergibt sich durch 2π/b, vergößert sich also für b<1 und verkleinert sich für b>1
Verschiebung in x-Richtung um |c|; bei negativem Wert nach rechts, ansonsten nach links;
Streckung in y-Richtung mit dem Faktor |a|; zusätzlich Spiegelung an der x-Achse, wenn a negativ ist;

Für den Kosinus gelten die selben Gesetzmäßigkeiten.

Beispiel 1