Tangentengleichung und Steigungswinkel, Matheaufgaben

Bestimmung des Steigungswinkels einer Tangente/Normalen an einer vorgegebenen Stelle; Bestimmung der Tangente an einer vorgegebenen Stelle des Graphen bzw. mit vorgegebenen Eigenschaften (Steigung, Steigungswinkel); Bestimmung des Berührpunkts der Tangente, die durch einen bestimmten Punkt geht

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TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bestimme die Gleichung der Tangente T an den Graphen G_f im Punkt P.

f

x

=
3x
2

+
5x

+
6

; P(−0,5 | ? )
y
=

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Wie bestimmt man die Steigung der Tangente an einem Punkt eines Graphen?

#480

Sei T: y = mx + t die Tangente an G_f im Punkt P[x₀|f(₀)]. Dann gilt:

m = f ´ (x₀)

Beispiel 1

Bestimme alle Tangenten an G_f, die parallel sind zu

g: y

−

Beispiel 2

Gegeben ist die Funktion f

x ≠ 0

Bestimme den Punkt Q des Graphen G_f, dessen Tangente durch

geht.

Beispiel 3

−

Bestimme die Tangente an G_f an der Stelle

0,6.

Beispiel 4

Bestimme die Tangente an G_f an der Stelle

−

Was ist die Normale eines Funktionsgraphen an einem Punkt und wie berechnet man ihre Steigung?

#1132

Zu jeder Tangente T an G_f im Punkt P(x₀|f(x₀)) gibt es eine ebenfalls durch P gehende, zu T senkrechte Gerade N. Diese nennt man Normale. Sofern T nicht parallel zur x-Achse verläuft besteht zwischen den Steigungen von T und N folgender Zusammenhang:

m_T·m_N=−1

Wie ist der Steigungswinkel einer Geraden definiert und wie hängt er mit der Steigung m zusammen?

#1130

Der Steigungswinkel 0°≤α<180° einer Geraden bezeichnet die Größe des Winkels, um den g gegenüber der x-Achse gedreht ist. Für 0°<α<90° handelt es sich um eine steigende, für 90°<α<180° um eine fallende Gerade.

Die Steigung m einer Geraden und ihr Steigungswinkel α stehen in folgendem Zusammenhang:

m=tan(α)

Beachte: wenn m gegeben und α gesucht ist, rechnet man zunächst tan^-1(m) aus. Ist das Ergbnis positiv, hat man damit α ermittelt. Ist es negativ, addiert man noch 180° hinzu.

Beispiel

−

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an

im Punkt P(0,5|?).

Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Tangentenschar zu einem Funktionsgraphen?

#1206

Die Schar aller Tangenten an einen Funktionsgraphen im Punkt (a|f(a)) kann durch eine Funktionsgeichung angegeben werden. Zur Ermittlung dieser Funktionsgleichung geht man genauso vor wie bei einer einzelnen Tangente. Der einzige Unterschied besteht darin, dass man mit allgemeinen Koordinaten a und f(a) rechnen muss statt mit festen Werten.

Beispiel