Tangentengleichung und Steigungswinkel, Matheaufgaben

Bestimmung des Steigungswinkels einer Tangente/Normalen an einer vorgegebenen Stelle; Bestimmung der Tangente an einer vorgegebenen Stelle des Graphen bzw. mit vorgegebenen Eigenschaften (Steigung, Steigungswinkel); Bestimmung des Berührpunkts der Tangente, die durch einen bestimmten Punkt geht

Hilfe
  • Sei T: y = mx + t die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

    m = f ´ (x0)

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In welchem/n Punkt/en des Graphen Gf geht dessen Tangente durch P?

  • f
     
    x
    =
    1
    3
     
    x
    2
     
    und P
     
    1,5|0
    Q
    1
     
     
    |
     
     
    links
    Q
    2
     
     
    |
     
     
    rechts
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Wie bestimmt man die Steigung der Tangente an einem Punkt eines Graphen?
#480
Sei T: y = mx + t die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

m = f ´ (x0)

Beispiel 1
f
 
x
=
x
3
+
2x
+
1
Bestimme alle Tangenten an Gf, die parallel sind zu 
g: y
=
7
3
 
x
−
2.
Beispiel 2
Gegeben ist die Funktion f
 
x
=
2
x
 
x ≠ 0
 
.
Bestimme den Punkt Q des Graphen Gf, dessen Tangente durch
 
P
 
0
 
|
 
4
3
 
geht.
Beispiel 3
f
 
x
=
1
−
3x
2
+
5x
Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle 
x
=
0,6.
Beispiel 4
f
 
x
=
x
3
+
2x
+
1
Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle 
x
=
−
1.
Was ist die Normale eines Funktionsgraphen an einem Punkt und wie berechnet man ihre Steigung?
#1132
Zu jeder Tangente T an Gf im Punkt P(x0|f(x0)) gibt es eine ebenfalls durch P gehende, zu T senkrechte Gerade N. Diese nennt man Normale. Sofern T nicht parallel zur x-Achse verläuft besteht zwischen den Steigungen von T und N folgender Zusammenhang:

mT·mN=−1

Wie ist der Steigungswinkel einer Geraden definiert und wie hängt er mit der Steigung m zusammen?
#1130

Der Steigungswinkel 0°≤α<180° einer Geraden bezeichnet die Größe des Winkels, um den g gegenüber der x-Achse gedreht ist. Für 0°<α<90° handelt es sich um eine steigende, für 90°<α<180° um eine fallende Gerade.

Die Steigung m einer Geraden und ihr Steigungswinkel α stehen in folgendem Zusammenhang:

m=tan(α)

Beachte: wenn m gegeben und α gesucht ist, rechnet man zunächst tan-1(m) aus. Ist das Ergbnis positiv, hat man damit α ermittelt. Ist es negativ, addiert man noch 180° hinzu.

Beispiel
f
 
x
=
x
·
x
−
2
2
Berechne den Steigungswinkel der Tangente an 
G
f
 im Punkt P(0,5|?).
Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Tangentenschar zu einem Funktionsgraphen?
#1206
Die Schar aller Tangenten an einen Funktionsgraphen im Punkt (a|f(a)) kann durch eine Funktionsgeichung angegeben werden. Zur Ermittlung dieser Funktionsgleichung geht man genauso vor wie bei einer einzelnen Tangente. Der einzige Unterschied besteht darin, dass man mit allgemeinen Koordinaten a und f(a) rechnen muss statt mit festen Werten.
Beispiel
f
 
x
=
x
3
−
2x
+
1
Bestimme die Gleichung für die Schar der Tangenten 
T
a
 an 
G
f
 im Punkt (a|f(a)).
graphik

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