Zweite Ableitung/Krümmung/Wendepunkt, Matheaufgaben

Bestimmung der lokalen Krümmung eines Graphen / maximaler Krümungsintervalle / relativer Extrema mit Hilfe der zweiten Ableitung. Zusammenhang der Graphen von f, f´und f ´´. Bestimmung von Wendepunkten und Wendetangenten.

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Variablenpotenzen sind in der Form x^n einzugeben.

f

x

=
3x
5

−
3x
2

+
2x

f ''

x

=

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Zweite Ableitung und Krümmung

Kanal: Mathegym

Wie erhält man die zweite Ableitung f´´ und unter welchen Bedingungen existiert sie?

#513

Leitet man f ab, so erhält man f ´ (erste Ableitung von f).

Leitet man f ´ ab, so erhält man f ´´ (zweite Ableitung von f).

Um f ´´ bilden zu können, muss f zweimal differenzierbar sein.

Wie beeinflussen die Vorzeichen von f´ und f´´ den Graphenverlauf von f?

#514

f bzw G_f	f ´	f ´´
streng monoton zunehmend	positiv
streng monoton abnehmend	negativ
linksgekrümmt	streng monoton zunehmend	positiv
rechtsgekrümmt	streng monoton abnehmend	negativ

Beispiel

Lies das jeweilige Vorzeichen von \( f(-1) \), \( f'(-1) \) und \( f''(-1) \) ab. Gib jeweils ein möglichst großes Intervall an (geschätzt), in dem \( f \), \( f' \) bzw. \( f'' \) positiv ist.

Wie bestimmt man den Funktionsterm einer Polynomfunktion n-ten Grades anhand gegebener Grapheneigenschaften?

#681

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades besitzt n+1 Unbekannte. Zur eindeutigen Bestimmung der Funktionsgleichung wird ein Gleichungssystem benötigt, das n+1 Gleichungen enthält.

Vorgehensweise, um die Funktionsgleichung zu bestimmen:

Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung mit ihren Ableitungen auf.
"Übersetze" alle gegebenen Eigenschaften in mathematische Gleichungen.
Stelle das Gleichungssystem auf, indem du die Koordinaten in die gefundenen Gleichungen einsetzt.
Löse das Gleichungssystem
Setze die gefundene Lösung in die Funktionsgleichung ein

Beispiel 1

Eine Funktion 4. Grades hat verläuft durch den Ursprung und besitzt in H(2|3) einen Hochpunkt, in T(4|-2) einen Tiefpunkt. Reicht die gegebene Information aus, um die Gleichung der ganzrationalen Funktion eindeutig zu bestimmen?

Beispiel 2

Eine Funktion 2. Grades hat einen Tiefpunkt bei (0|1) und geht durch den Punkt P(2|9).

f(x)

Stellen, an denen sich die Krümmung eines Graphen ändert, nennt man Wendepunkte. Sofern f zweimal differenzierbar ist, gilt der Zusammenhang:

G_f besitzt einen Wendepunkt an der Stelle x = a

⇔

f ´´ (a) = 0 und Vorzeichenwechsel von f ´´ bei x = a

Beispiel 1

Bestimme sämtliche Wendepunkte von G_f sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).

−

45x

−

Beispiel 2

Bestimme sämtliche Wendepunkte von G_f sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).

−

45x

−

Wie bestimmt man die Krümmungsintervalle eines Funktionsgraphen?

#515

Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.

Beispiel 1

Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion

−

Beispiel 2

Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion

−

2x.

Wie kann man mit der zweiten Ableitung feststellen, ob an einer Nullstelle der ersten Ableitung ein relatives Extremum vorliegt und welcher Art es ist?

#516

Sei a eine Nullstelle der ersten Ableitung, also f ´(a) = 0. Dann gilt:

f ´´ (a ) < 0 ⇒ relatives Maximum bei x = a

f ´´ (a ) > 0 ⇒ relatives Minimum bei x = a

Vorsicht: Aus f ´´ (a) = 0 folgt NICHT, dass kein relatives Extremum vorliegt. Überprüfe in diesem Fall f ´ auf Vorzeichenwechsel an der Nullstelle x = a. Zur Erinnerung:

VZW +/- von f ´ ⇔ relatives Maximum

VZW -/+ von f ´ ⇔ relatives Minimum

kein VZW von f´ ⇔ Terrassenpunkt