Proportionalität, Matheaufgaben

Eigenschaften von Funktionenscharen in Abhängigkeit vom Scharparameter; Bestimmung des Scharparameters; Schar der Tangenten im Punkt (a|f(a))

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Überleg zunächst, ob direkte Proportionalität vorliegt. Wenn sich die Frage nicht beantworten lässt, gib "!" ein.

Für ihren 14-tägigen Aufenthalt in einem Clubhotel in Portugal bezahlt Familie Berger 3248 Euro. Was hätte ein neuntägiger Aufenthalt gekostet (vorausgesetzt, jeder Tag kostet gleich viel, unabhängig von der Länge des Aufenthalts)?
Der Aufenthalt hätte Euro gekostet.

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Was bedeutet es, wenn zwei Größen direkt proportional sind?

#759

(Direkt) proportional heißt: Wenn man die eine Größe verdoppelt/verdreifacht/vervierfacht usw., dann verdoppelt/verdreifacht/vervierfacht usw. sich auch die andere Größe.

Beispiel

Sind folgende Größen jeweils proportional?

a) x=Fahrzeit, y=zurückgelegte Strecke (bei konstanter Geschwindigkeit 75 km/h)

b) x=Anzahl Maler, y=bemalte Fläche pro Stunde

c) x=Seitenlänge eines Quadrats, y=Flächeninhalt des Quadrats

Wie sehen die Diagramme bei proportionalen und umgekehrt proportionalen Beziehungen aus?

#147

Jede Wertetabelle lässt sich grafisch umsetzen, indem man die einzelnen Spalten als Punkte mit entsprechender x- und y-Koordinate liest.

Merke:

Bei Proportionalität ergibt sich eine Gerade, die durch den Ursprung des Koordinatensystems geht.
Bei umgekehrter Proportionalität (Antiproportionalität) ergibt sich eine sogenannte Hyperbel, deren Äste sich auf die x- und y-Achse zubewegen.

Beispiel

Welcher Graph beschreibt den Zusammenhang zwischen der Fahrzeit und der durchschnittlichen Geschwindigkeit bei einer Strecke von 400 km?

Was bedeutet proportional, umgekehrt proportional, produktgleich, quotientengleich und Proportionalitätsfaktor?

#141

Proportional heißt: Wenn man die eine Größe (x) verdoppelt, verdoppelt sich auch die andere (y). Wenn man x verdreifacht, verdreifacht sich auch y u.s.w.. Da der Quotient aus y und x konstant ist, spricht man von Quotientengleichheit. Den konstanten Quotientenwert y : x nennt man Proportionalitätsfaktor.

Umgekehrt (indirekt, anti-) proportional heißt: Wenn man x verdoppelt, halbiert sich y. Wenn man x verdreifacht, verringert sich y auf den dritten Teil u.s.w.. Da das Produkt aus x und y konstant ist, spricht man von Produktgleichheit.

Beispiel 1

Stelle fest, ob der Zusammenhang zwischen den folgenden Größen jeweils indirekt (synonym: umgekehrt/anti-) proportional ist:

a) x=Geschwindigkeit eines Autos | y=Fahrzeit für eine bestimmte Strecke

b) x=Anzahl der Maler | y=Arbeitsdauer für das Streichen einer Wohnung

c) x=Anzahl der bereits gelesenen Seiten | y=noch ungelesene Seiten eines Buches

Beispiel 2

Natalie beginnt einen Roman, der 330 Seiten umfasst. Nach eine Dreiviertelstunde ist sie auf Seite 21. Überschlage, wie lange sie für das ganze Buch benötigen wird.

Beispiel 3

Die Größen x und y stehen in einem umgekehrt proportionalen (antiproportionalem) Zusammenhang. Fülle die Tabelle vollständig aus.

−

Beispiel 4

Prüfe, ob der Zusammenhang proportional ist. Wenn ja, gib den Proportionalitätsfaktor q an.

1,5

−

0,5

−

Beispiel 5

Prüfe, ob der Zusammenhang proportional, umgekehrt proportional (antiproportional) oder weder noch ist. Gib in den ersten beiden Fällen den noch fehlenden Tabellenwert an.

−

1,8