Proportionalität, Matheaufgaben

Eigenschaften von Funktionenscharen in Abhängigkeit vom Scharparameter; Bestimmung des Scharparameters; Schar der Tangenten im Punkt (a|f(a))

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TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Ist folgende Zuordnung direkt proportional?

Anzahl der Lernstunden → Note in der Matheschulaufgabe (wenn diese objektiv ermittelt wird):
Anzahl der Lernstunden → Energieverbrauch Schreibtischlampe (wenn diese beim Lernen immer an ist):

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Was bedeutet es, wenn zwei Größen direkt proportional sind?

#759

(Direkt) proportional heißt: Wenn man die eine Größe verdoppelt/verdreifacht/vervierfacht usw., dann verdoppelt/verdreifacht/vervierfacht usw. sich auch die andere Größe.

Beispiel

Sind folgende Größen jeweils proportional?

a) x=Fahrzeit, y=zurückgelegte Strecke (bei konstanter Geschwindigkeit 75 km/h)

b) x=Anzahl Maler, y=bemalte Fläche pro Stunde

c) x=Seitenlänge eines Quadrats, y=Flächeninhalt des Quadrats

Was bedeutet proportional, umgekehrt proportional, produktgleich, quotientengleich und Proportionalitätsfaktor?

#141

Proportional heißt: Wenn man die eine Größe (x) verdoppelt, verdoppelt sich auch die andere (y). Wenn man x verdreifacht, verdreifacht sich auch y u.s.w.. Da der Quotient aus y und x konstant ist, spricht man von Quotientengleichheit. Den konstanten Quotientenwert y : x nennt man Proportionalitätsfaktor.

Umgekehrt (indirekt, anti-) proportional heißt: Wenn man x verdoppelt, halbiert sich y. Wenn man x verdreifacht, verringert sich y auf den dritten Teil u.s.w.. Da das Produkt aus x und y konstant ist, spricht man von Produktgleichheit.

Beispiel 1

Stelle fest, ob der Zusammenhang zwischen den folgenden Größen jeweils indirekt (synonym: umgekehrt/anti-) proportional ist:

a) x=Geschwindigkeit eines Autos | y=Fahrzeit für eine bestimmte Strecke

b) x=Anzahl der Maler | y=Arbeitsdauer für das Streichen einer Wohnung

c) x=Anzahl der bereits gelesenen Seiten | y=noch ungelesene Seiten eines Buches

Beispiel 2

Die Größen x und y stehen in einem umgekehrt proportionalen (antiproportionalem) Zusammenhang. Fülle die Tabelle vollständig aus.

−

Beispiel 3

Natalie beginnt einen Roman, der 330 Seiten umfasst. Nach eine Dreiviertelstunde ist sie auf Seite 21. Überschlage, wie lange sie für das ganze Buch benötigen wird.

Beispiel 4

Prüfe, ob der Zusammenhang proportional, umgekehrt proportional (antiproportional) oder weder noch ist. Gib in den ersten beiden Fällen den noch fehlenden Tabellenwert an.

−

1,8

−

1,44

2,7

Beispiel 5

Prüfe, ob der Zusammenhang proportional ist. Wenn ja, gib den Proportionalitätsfaktor q an.

1,5

−

0,5

−

Beispiel 6

Die Größen x und y stehen in einem proportionalen Zusammenhang. Fülle die Tabelle vollständig aus.

Wie sehen die Diagramme bei proportionalen und umgekehrt proportionalen Beziehungen aus?

#147

Jede Wertetabelle lässt sich grafisch umsetzen, indem man die einzelnen Spalten als Punkte mit entsprechender x- und y-Koordinate liest.

Merke:

Bei Proportionalität ergibt sich eine Gerade, die durch den Ursprung des Koordinatensystems geht.
Bei umgekehrter Proportionalität (Antiproportionalität) ergibt sich eine sogenannte Hyperbel, deren Äste sich auf die x- und y-Achse zubewegen.

Beispiel

Welcher Graph beschreibt den Zusammenhang zwischen der Fahrzeit und der durchschnittlichen Geschwindigkeit bei einer Strecke von 400 km?