exp und ln - Grenzwertbetrachtungen, Matheaufgaben

Verhalten für x → ∞ und für x → x0 bei Funktionen, die sich u.a. aus exp oder ln zusammensetzen

Hilfe
  • Die natürliche Exponentialfunktion verändert sich wesentlich schneller als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
    • für x → −∞ strebt das Produkt aus ex und xn gegen 0
    • für x → ∞ strebt der Quotient aus xn und ex gegen 0
    • für x → ∞ strebt die Differenz aus ex und xn gegen ∞
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  • lim
    x → ∞
     
    −
    3
    x
    ·
    e
    x
    =
    Notizfeld
    Notizfeld
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Wie verhalten sich die Funktionen x^n und e^x für x → ∞ und x → −∞?
#553
Die natürliche Exponentialfunktion verändert sich wesentlich schneller als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
  • für x → −∞ strebt das Produkt aus ex und xn gegen 0
  • für x → ∞ strebt der Quotient aus xn und ex gegen 0
  • für x → ∞ strebt die Differenz aus ex und xn gegen ∞
Beispiel
lim
x → −∞
 
e
−
x
·
x
x
2
−
1
=
?
Wie verhalten sich der Quotient aus ln(x) und x^n für x → ∞ und das Produkt aus ln(x) und x^n für x → 0^+?
#554
Die ln-Funktion verändert sich wesentlich langsamer als jede Potenzfunktion. Daher gilt:
  • für x → ∞ strebt der Quotient aus ln(x) und xn gegen 0
  • für x → 0+ strebt das Produkt aus ln(x) und xn gegen 0
Beispiel
lim
x → ∞
    
ln
 
1
x
x
−
x
2
=
?
Wie verhält sich die Exponentialfunktion exp(x) für x gegen plus oder minus unendlich?
#551
ex strebt
  • gegen 0 für x → −∞
  • gegen ∞ für x → ∞
Beispiel
lim
x → 1+
 
e
x
−
2
1
−
x
=
?
Wie verhält sich die natürliche Logarithmusfunktion ln(x) an den Rändern ihres Definitionsbereichs?
#552
ln(x) strebt
  • gegen −∞ für x → 0+
  • gegen ∞ für x → ∞
Beispiel
lim
x → −∞
    
ln
 
1
−
x
2
x
+
1
=
?

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