Ableitung - Potenzfunktion - ganzzahliger Exponent, Matheaufgaben

Ableitung von Potenzfunktionen mit ganzzahligem Exponent und ganzrationalen Funktionen (Summen- und Faktorregel); betrachtet werden auch Funktionen mit Parametern

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Ableitung von x^n

Kanal: Mathegym

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Ableitung von x^n - Beweis

Kanal: Mathegym

Wie lautet die Ableitung von f(x) = a·x^m und welche zwei Spezialfälle gibt es dazu?

#754

Wenn f(x) = a · x^m mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
f ^′(x) = a · m · x ^m−1.

Spezialfälle:

f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0

Beispiel

f ´

Wie kann ein gebrochen rationaler Term in eine ganzrationale Form umgewandelt werden und welchen Vorteil hat das beim Ableiten?

#750

Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.

Beispiel

−

f ´

Was folgt für die Ableitung und jede Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion mit ungeradem Grad und negativem Leitkoeffizienten?

#845

Die Ableitung von a·xⁿ ist a·n·xⁿ⁻¹. Für ganzrationale Funktionen gilt daher:

Wenn f den Grad n besitzt, dann besitzt die Ableitung f´ den Grad n−1 und jede Stammfunktion F den Grad n+1. Insbesondere ist der Grad von f´ und F damit ungerade, falls der Grad von f eine gerade Zahl ist und umgekehrt.
Wenn der Leitkoeffizient von f(x), also der Faktor vor der höchsten x-Potenz, eine positive bzw. negative Zahl ist, dann gilt das auch für die Leitkoeffizienten von f´ und F.

Beispiel

Abgebildet ist der Graph der ganzrationalen Funktion f. Setze den Term der Ableitung f´(x) richtig zusammen. Wähle dazu aus der ersten und letzten Spalte jeweils den passenden Teilterm aus (in der Mitte steht immer 4x).

f´(x)