Potenzen mit rationalen Exponenten - Matheaufgaben und Online-Übungen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 10 in Level 1

Berechne ohne Taschenrechner. Evtl. auftretende Brüche sind in der Form "a/b" bzw. "-a/b" anzugeben.

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Stoff zum Thema

Wie kann man Potenzen mit negativen oder gebrochenen Exponenten in natürliche Exponenten umformen?

#374

Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt

b^−r = 1 / b^r

Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt

b^1/n = ⁿ√b

Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt

b^m/n = ⁿ√(b^m) = (ⁿ√b)^m

Beispiel 1

0,75

−

Beispiel 2

Vereinfache jeweils so, dass die Variable nicht im Nenner oder unter der Wurzel steht:

3

27a

Beispiel 3

Schreibe jeweils als Potenz (ohne Wurzelzeichen) mit möglichst einfacher Basis:

3

Wie kann man die Gleichung T(x)^r = a lösen und wann gibt es keine Lösung?

#376

Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Die Gleichung

T(x)^r = a

lässt sich (evtl.) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:

T(x) = a^1/r

Keine Lösung erhält man z.B., wenn a negativ und r

eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
eine echt rationale Zahl ist: x^1/3 = -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)

Beispiel

Löse die folgenden beiden Gleichungen:

−

3

−

Wann gelten zwei Terme als äquivalent?

#375

Zwei Terme T₁ und T₂ sind äquivalent, wenn sie die gleichen Defintionsmengen besitzen und bei jeder Einsetzung aus der Definitionsmenge den selben Wert annehmen.

Beispiel

Überprüfe jeweils auf Äquivalenz: