Potenzen mit rationalen Exponenten, Matheaufgaben

n-te Wurzel und Kehrbruch mit Hilfe von Potenzen ausdrücken, Umwandlung zwischen beiden Darstellungsformen, Lösen von Gleichungen durch geeignete Potenzierung - 47 Aufgaben in 7 Levels

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Stelle die natürliche Zahl, die im Term vorkommt, zunächst als Potenz dar und lies die Regel oben rückwärts.
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt

    b−r = 1 / br

    Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt

    b1/n = n√b

    Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt

    bm/n = n√(bm) = (n√b)m

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 6
  • Ergänze. Evtl. auftretende Brüche sind in der Form "a/b" bzw. "-a/b" anzugeben.
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • 1
    25
    =
    5
    27
    =
    3
  • keine Berechtigung
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
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Lösung
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Stoff zum Thema
Wie kann man Potenzen mit negativen oder gebrochenen Exponenten in natürliche Exponenten umformen?
#374
Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt

b−r = 1 / br

Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt

b1/n = n√b

Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt

bm/n = n√(bm) = (n√b)m

Beispiel 1
Vereinfache jeweils so, dass die Variable nicht im Nenner oder unter der Wurzel steht:
2
3x
2
 
          
 
3
64
27a
Beispiel 2
27
2
3
=
?
 
          
 
0,75
−
2
=
?
Beispiel 3
Schreibe jeweils als Potenz (ohne Wurzelzeichen) mit möglichst einfacher Basis:
3
25
9
 
          
 
1
8
Wie kann man die Gleichung T(x)^r = a lösen und wann gibt es keine Lösung?
#376
Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Die Gleichung

T(x)r = a

lässt sich (evtl.) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:

T(x) = a1/r

Keine Lösung erhält man z.B., wenn a negativ und r
  • eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
  • eine echt rationale Zahl ist: x1/3 = -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)
Beispiel
Löse die folgenden beiden Gleichungen:
1
3
 
x
+
1
−
3
4
=
8
 
          
 
3
x
2
−
2
=
−
1
2
Wann gelten zwei Terme als äquivalent?
#375
Zwei Terme T1 und T2 sind äquivalent, wenn sie die gleichen Defintionsmengen besitzen und bei jeder Einsetzung aus der Definitionsmenge den selben Wert annehmen.
Beispiel
Überprüfe jeweils auf Äquivalenz:
x
2
 
und
 
x
2
 
          
 
x
2
3
 
und
 
x
3
Diese Aufgabentypen erwarten dich in den weiteren Übungslevel:
1. Level10 Aufgaben
Potenzen mit rationalen Exponenten
2. Level10 Aufgaben
Potenzen mit rationalen Exponenten
3. Level6 Aufgaben
Potenzen mit rationalen Exponenten
4. Level5 Aufgaben
Potenzen mit rationalen Exponenten
5. Level5 Aufgaben
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6. Level6 Aufgaben
Potenzen mit rationalen Exponenten
7. Level5 Aufgaben
Potenzen mit rationalen Exponenten

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