Quadratische Funktionen - einführende Aufgaben mit a≠1, Matheaufgaben

Gestreckte und gestauchte Parabeln, Bestimmung von Parametern (insbesondere Formparameter) anhand des Grafen, leichte Scheitelbestimmung

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TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Betrachte die abgebildete Parabel (orange) mit der Gleichung y = ax². Was lässt sich über den Formfaktor a aussagen? Zum Vergleich ist auch die Normalparabel abgebildet.

a

>
0


a

<
0

a

>
1



a

=
1


a

<
1

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Was sagt der Graph der Funktion y = ax² (a≠0) über die Form der Parabel aus?

#232

Die durch y = ax² (a≠0) definierte Parabel hat den Scheitel im Ursprung und ist gegenüber der Normalparabel in y-Richtung um das |a|-fache gestreckt (|a|>1) oder gestaucht (|a|<1). Das Vorzeichen von a legt fest, ob die Parabel nach oben (a positiv) oder nach unten (a negativ) geöffnet ist.

Beispiel

Neben der Normalparabel (grau) sind drei verschiedene Parabeln mit der Gleichung y = ax² dargestellt. Lies jeweils das Vorzeichen von a ab und gib an, ob |a|>1 oder |a|<1.

Wie bestimmt man den Formparameter a einer Parabel, wenn die Gleichung bis auf diesen bekannt ist?

#233

Die Gleichung einer Parabel sei bis auf den Formfaktor a bekannt. Dann lässt sich a bestimmen, indem man einen Punkt des Graphen aus dem Koordinatensystem abliest, ihn in die Parabelgleichung einsetzt und die Gleichung nach a auflöst.

Beispiel

Was lässt sich über die Graphen der Funktionen folgender Gleichungen jeweils aussagen: y = x², y = (x + 2)², y = x² + 2, y = (x - 1)² + 3?

#230

y = x²:
Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
y = (x + 2)²:
Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
y = x² + 2:
Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
y = (x − 1)² + 3:
Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)

Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.

Beispiel

Gib die Koordinaten des Scheitels an.

Wie beeinflussen die Parameter a, x_S und y_S die Form und Lage einer Parabel mit der Gleichung y = a⋅(x - x_S)² + y_S?

#913

Durch die Gleichung y = a⋅(x - x_S)² + y_S (a≠0) ist eine Parabel mit den Scheitelkoordinaten x_S und y_S gegeben, die gegenüber der Normalparabel mit der Gleichung y = x²

nach unten geöffnet ist, falls a negativ ist und
evtl. gestreckt (falls |a|>1) bzw. gestaucht (falls |a|<1) ist.

Beispiel

Abgebildet ist die Parabel mit der Gleichung

−

Bestimme a,

und

Wie überprüft man, ob ein Punkt bezüglich eines Funktionsgraphen auf, über oder unter diesem liegt?

#234

Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt

über dem Graphen, wenn b > f(a)
auf dem Graphen, wenn b = f(a)
unter dem Graphen, wenn b < f(a)

Beispiel

−

;

−

;

−

;

6,5

Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Parabel liegt.

Wie zeichnet man eine Parabel in Scheitelform ohne Wertetabelle?

#917

Um eine in Scheitelform gegebene Parabel mit der Gleichung y=a·(x−x_S)²+y_S ohne Wertetabelle zu zeichnen, geht man am besten vom Scheitel S aus nacheinander um 1, 2, 3 usw. Einheiten nach rechts und dabei um a·1², a·2², a·3² usw. Einheiten nach oben (a>0) oder unten (a<0). Somit erhält man den rechten Parabelast. Der linke ergibt sich durch Spiegelung.

Beispiel

Zeichne die Parabel mit der Gleichung

−

in ein Koordinatensystem. Benutze dabei weder den Taschenrechner noch eine schriftliche Wertetabelle.

Wie erstellt man eine Wertetabelle für eine Funktion und was bedeuten die Einträge?

#235

In einer Wertetabelle sind x- und y-Werte einander gegenübergestellt. Die Wertetabelle erhält man, indem man vorgegebene x-Werte in den Funktionsterm einsetzt und so die zugehörigen y-Werte ausrechnet. Die (x|y)-Paare sind Punkte des Grafen.