4.4 Multiplizieren von Summen - Aufgaben

Umformen von Termen - Lehrwerk mathe.delta (5.-9. Klasse)

Verlängern-verkürzen.

  • Ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basislänge AB = 6 cm und der Höhe h = 8 cm ist gegeben. Es entstehen neue Dreiecke, wenn man die Seite [AB] über A und B hinaus jeweils um x cm verlängert und die Höhe h von C aus um 0,5 x cm verkürzt.
    • Zeichne das Dreieck ABC und ein neues Dreieck A1B1C1 für x = 2.
    Die neue Basislänge beträgt:
     
     
    cm
    Die neue Höhe beträgt:
     
     
    cm
    • Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks A1B1C1.
    A
    A
    1
     
    B
    1
     
    C
    1
    =
     
    cm2
    • Welche Werte kann x annehmen? Finde die Intervallgrenzen.
     
    		≤
    x
    <
     
    • Berechne den Flächeninhalt A(x) der Dreiecke AnBnCn in Abhängigkeit von x.
    A(x)
    =
    ·
     
    x
    2
    +
     
    ·
    x
    +
     
    cm
    2
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    Notizfeld
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Beim Multiplizieren zweier Summen muss jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden (ergibt sich aus dem Distributivgesetz):

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd

Beispiel 1
Multipliziere aus und vereinfache:
a) 
x
+
3
·
4
−
5x
b) 
−
10
−
a
·
−
7
+
b
c) 
x
2
−
1
−
2
3
 
a
·
3x
−
1
2
Beispiel 2
Multipliziere aus und vereinfache:
2
5
 
uv
−
2
3
·
15u
2
+
1
−
uv
Beispiel 3
b
−
2
3
 
b
·
6a
·
a
−
30%
+
1
2
 
a
2
·
b
−
4ab
−
ab
2
Die Anzahl der Summanden, die sich nach dem Ausmultiplizieren mehrerer Summen ergibt, lässt sich ebenso leicht bestimmen wie die höchsten Variablenpotenzen:
  • Anzahl der Summanden: Nimm von jeder Klammer die Anzahl der Summanden und bilde das Produkt.
  • Höchste Potenz einer Variable: Nimm aus jeder Klammer die höchste Potenz dieser Variable und multipliziere diese Potenzen.
Beispiel
Wie viele Summanden ergeben sich nach dem Ausmultiplizieren und welche höchsten Variablenpotenzen?
x
+
2
−
y
2
·
2y
5
−
x
−
5x
2
+
1
3
·
x
+
1
·
y
3
Unterscheide zwischen
  • a · (b · c) = a · b · c   (A-Gesetz)
  • a · (b + c) = a · b + a · c   (D-Gesetz)
Beispiel
Vereinfache:
12,5%
·
s
:
5
−
4
+
1,8s
·
1
1
2
 
s
+
t
2
−
3t
·
s
:
6
·
2t
Verändert sich die Länge einer Seite a um den Parameter x, so unterscheidet man die beiden Fälle:
  • wird die Strecke a um x verlängert, so beträgt die neue Länge a + x.
  • wird die Strecke a um x verkürzt, so beträgt die neue Länge a − x.