Untersuchung ganzrationaler Funktionen, Matheübungen

Untersuchung auf Symmetrie zum KOSY, Nullstellen, Verhalten für große |x|, Extrema, Wendepunkte - Lehrplan G9 (5.-12. Klasse)

Begründe, welcher der Graphen zum gegebenen Funktionsterm passt.

  • graphik
    Gegeben ist die in ℝ definierte Funktion f mit 
    f
     
    x
    =
    x
    3
    +
    3x
    2
    +
    3x
    +
    9
    .
     Bestimme Terme für die erste und die zweite Ableitung von f und begründe mit deren Hilfe, welcher der obigen Graphen zu f passt.
    Erste Ableitung: 
    f
     
    ´
     
    x
    =
     
    x
    2
    +
     
    x
    +
    Zweite Ableitung: 
    f
     
    ´´
     
    x
    =
     
    x
    +
    f
     
    ´´
     besitzt eine bei Alle drei Graphen A, B und C besitzen dazu passend an dieser Stelle. Während jedoch A eine Wendetangente besitzt, ist die Wendetangente von B und die Wendetangente von C Zur Kontrolle muss also nur noch an dieser Stelle berechnet werden. Weil das Ergebnis ist, muss der zur Funktion f passende Graph sein.
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Beispiel 1
Gegeben ist die in ganz ℝ definierte Polynomfunktion mit der Funktionsgleichung 
f
 
x
=
x
+
2
 
x
2
+
2x
−
15
.
Untersuche auf/ermittle:
  • Nullstellen
  • Schnittpunkt mit der y-Achse
  • Symmetrie zum KOSY
  • Verhalten im Unendlichen
  • relative Extrempunkte einschl. Art
  • Wendepunkte
Zeichne schließlich den Graphen von f unter Einbezug aller Teilergebnisse.
Beispiel 2
f
 
x
=
x
3
−
x
2
−
5x
−
3
Diskutiere hinsichtlich Symmetrie zum Koordinatensystem, Nullstellen, Verhalten im Unendlichen, Extremwerte und Monotonie und skizziere den Graphen.