Untersuchung von gebrochen-rationalen Funktionen und Verknüpfungen, Mathe-Übungen

Kurvendiskussion gebrochen-rationaler Funktionen, auch verkettet mit sin und exp - Lehrplan G9 (5.-11. Klasse)

Hilfe
  • Bestimme zunächst die Ableitung.

Besitzt der Graph der Funktion eine waagrechte Tangente und wenn ja wo? Gib "!" ein, wenn es keine solche Stelle gibt. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 2. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • f
     
    x
    =
    2
    −
    x
    x
    −
    1
        
    D
    f
    =
    ℝ \
     
    {
     
    1
     
    }
    x
     
    ≈
     
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Sei T: y = mx + t die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

m = f ´ (x0)

Beispiel
f
 
x
=
1
−
3x
2
+
5x
Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle 
x
=
0,6.
ex strebt
  • gegen 0 für x → −∞
  • gegen ∞ für x → ∞
Beispiel
lim
x → 1+
 
e
x
−
2
1
−
x
=
?
Gute Anhaltspunkte für eine genaue Zeichnung des Funktionsgraphen liefern folgende Untersuchungen (Kurvendiskussion):
  • maximale Definitionsmenge
  • Punkt- und Achsensymmetrie
  • Schnittpunkte mit x- und y-Achse
  • Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs/Asymptoten
  • relative Extremwerte/Monotonieverhalten
  • Wendepunkte/Krümmungsverhalten
Beispiel
f
 
x
=
x
2
+
2x
+
1
x
+
3
Untersuche die Funktion f hinsichtlich max. Derfinitionsmenge, Nullstellen, Schnittpunkt mit der y-Achse, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs, Asymptoten, relative Hoch- und Tiefpunkte, Monotonieverhalten, Wendepunkte und Krümmungsverhalten. Skizziere den Graphen und gib die Wertemenge an.