Wie geht man vor, wenn die Fläche zwischen zwei Graphen in einem bestimmten Intervall bestimmt werden soll, sofern der Verlauf beider Graphen nicht oder nicht genau (bzgl. evtl. Schnittpunkte) bekannt ist?
Um die Fläche zu ermitteln, die zwischen zwei Graphen Gf und Gg im Intervall I = [a;b] (d.h. nach links und rechts begrenzt durch die Vertikalen x = a und x = b) liegt, gehe wie folgt vor:
- Bilde die Differenz d = f − g und vereinfache den Term so weit wie möglich.
- Ermittle eine Stammfunktion D von d.
- Überprüfe, ob und wo sich beide Graphen im Intervall I schneiden. Kommst du mit dem Ansatz f(x) = g(x) rechnerisch nicht weiter, führt evtl. eine Skizze weiter (es reicht, wenn Schnittstellen durch die Skizze ausgeschlossen werden können!).
- Evtl. Schnittstellen, die im Intervall I liegen, unterteilen I in Teilintervalle. Integriere nun die Differenz d über die einzelnen Teilintervalle. Dabei kannst du immer auf dieselbe Stammfunktion D zurückgreifen.
- Addiere zum Schluss die BETRÄGE der einzelnen Integrale.
Beispiel
Bestimme den Inhalt der Fläche, welche von den beiden Parabeln p und q mit
und
eingeschlossen wird.
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- Schnittstellen bestimmen
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- Bestimmtes Integral
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| vereinfacht (Symmetrie) | ||||||||||||||||||||||||||||||
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| Stammfunktion | ||||||||||||||||||||||||||||||
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| "obere minus untere Grenze" | ||||||||||||||||||||||||||||||
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Hinweis: da man weiß, dass der Graph von g im Integrationsintervall über dem von f liegt, kann man auf die Betragstriche verzichten.
Lernvideo
FLÄCHE zwischen 2 Graphen berechnen – Integral zwischen zwei Funktionen, Kurven
Kanal: MathemaTrick
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