Wie lautet der Additionssatz für die Wahrscheinlichkeit von P(A ⋆ B)?

Nach dem Additionssatz gilt für beliebige Ereignisse A und B:

P( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B )

Alternativ berechnet man die "Oder-Wahrscheinlichkeit" wie folgt:

P( A ∪ B ) = P( A ∩ B ) + P( B ∩ A ) + P( A ∩ B )

Beispiel 1
A
A
B
0,2
0,55
B
0,35
P
 
A ∪ B
=
?
A ∪ B betrifft die drei unten markierten Felder der A-Spalte und der B-Zeile (ohne die Summen am Rand). Es gibt zwei Möglichkeiten, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen.
  • Lösung auf direktem Wege
Ergänze die Vierfeldertafel und addiere dann die relevanten Felder (markiert):
A
A
B
0,2
0,35
0,55
B
0,15
0,35
P
 
A ∪ B
=
0,2
+
0,15
+
0,35
=
0,7

  • Lösung mit Hilfe des Additionssatzes
Hier addiert man zur Spaltensumme von A die Zeilensumme von B und zieht dann das Feld, in dem sich Zeile und Spalte überlappen, ab:
P
 
A ∪ B
=
P
 
A
+
P
 
B
−
P
 
A ∩ B
=
0,35
+
0,55
−
0,2
=
0,7
Hinweis: bei dieser Aufgabe ist der Additionssatz das etwas einfachere Verfahren, da die dafür notwendigen Zahlen direkt aus der Aufgabenstellung abgelesen werden können.
Beispiel 2
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim gleichzeitigen Werfen zweier Würfel Augensumme 6 oder zwei Augenzahlen zu erhalten, bei denen eine doppelt so groß wie die andere ist?
Lösung:
Insgesamt gibt es beim Werfen zweier Würfel 36 gleichwahrscheinliche Ergebnisse: 11, 12, …, 16, 21, 22, … 66.

A: Augensumme 6
Wird erfüllt durch die fünf Ergebnisse 15, 24, 33, 42 und 51.
P(A)
=
5
36

B: eine Augenzahl doppelt so groß wie die andere
Wird erfüllt durch die sechs Ergebnisse 12, 24, 36, 21, 42 und 63.
P(B)
=
6
36

A ∩ B
Die Schnittmenge von A und B besteht aus 24 und 42.
P(A ∩ B)
=
2
36


A ∪ B
Nach dem Additionssatz gilt demnach:
P(A ∪ B)
=
5
36
+
6
36
−
2
36
=
9
36
=
1
4
=
25%
Siehe auch

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