Welche Bedingungen muss die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße erfüllen und wie berechnet man damit Wahrscheinlichkeiten?
Eine in einem Intervall I definierte Funktion f, aus der man Wahrscheinlichkeiten durch Integration bestimmen kann, nennt man Dichtefunktion. Sie muss die folgenden Bedingungen erfüllen:
- f(x) ≥ 0 für alle x ∈ I (Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist nie negativ.)
- Das Integral über f auf dem gesamten Intervall I besitzt den Wert 1. (Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist stets 100%.)
Beispiel 1
Gegeben ist die Funktion f mit
für
| = |
|
|
|
Zeige, dass f die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X ist.
- Nichtnegativität der Dichtefunktion
Der Graph von f ist eine nach unten geöffnete Parabel. Ihre Nullstellen ergeben sich aus:
| = |
| ||||||||||||||||||||
| = |
| ||||||||||||||||||||
f besitzt somit die Nullstellen 0 und 3 und erfüllt:
| 0 |
| 3 |
- Gesamtwahrscheinlichkeit 100%
Für das Integral über f in [0; 3] ergibt sich:
| = |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| = |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| = |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| = |
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Somit sind die beiden Bedingungen dafür erfüllt, dass f im betrachteten Intervall die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X ist.
Beispiel 2
Jonas hat sich zum letzten Jahreswechsel vorgenommen, seine tägliche Bildschirmzeit zu reduzieren und dafür täglich Buch zu führen, wie viele Stunden er vor einem Bildschirm gesessen ist. Am Ende des Jahres ist er stolz auf seine Fortschritte: An keinem Tag hat er mehr als drei Stunden vor dem Bildschirm verbracht und an den meisten Tagen sogar deutlich weniger als drei Stunden. Mit der Zufallsgröße B bezeichnet er die Bildschirmzeit in Stunden an einem zufällig ausgewählten Tag. Die Auswertung seiner Daten ergibt näherungsweise den dargestellten Graphen
der für 0 ≤ x ≤ 3 durch die Funktion
beschrieben werden kann. Dabei gibt x die Bildschirmzeit in Stunden an, und
kann als Modell für die Dichtefunktion der Zufallsgröße B verwendet werden.
| , |
| = |
|
f |
|
Jonas ärgert sich lediglich darüber, dass er an manchen Tagen eine Bildschirmzeit von mindestens zwei Stunden hatte (Ereignis Z). Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Z.
| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| = |
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| = |
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| = |
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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| = |
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Beispiel 3
Die stetige Zufallsgröße X besitzt die Funktion f mit
für
als Dichtefunktion. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X mindestens den Wert 2 annimmt.
| = |
|
| 3 |
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 2) ergibt sich durch Integration über f in [2; 3]:
| = |
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| = |
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| = |
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| = |
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| = |
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| = |
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Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt also ungefähr 26%.
