Wie berechnet man Umfang und Flächeninhalt eines Kreissegments?

Beim Kreissegment berechnet man...
  • den Umfang, indem man die Länge der Kreissehne und des Kreisbogens zusammenrechnet.
  • den Flächeninhalt, indem man vom Flächeninhalt des Kreissektors den des gleichschenkligen Dreiecks abzieht.
Beispiel 1
Berechne den Umfang eines Kreissegments mit
r
=
2
 
cm
μ
=
40°.
Skizze:
graphik
  • Kreisbogen b:
    
    
b
=
μ
360°
·
2
·
π
·
r
    
    
b
=
40°
360°
·
2
·
π
·
2
    
    
b
=
4
9
·
π
  • Halbe Kreissehne x:
    
    
sin
 
μ
2
=
x
r
    
    
sin
 
40°
2
=
x
2
·
2
    
    
2
·
sin
 
20°
=
x
  • Umfang Segment:
    
    
u
Segment
=
2
·
x
+
b
    
    
u
Segment
=
2
·
2
·
sin
 
20°
+
4
9
·
π
    
    
u
Segment
=
2,764…
 
cm
Beispiel 2
Berechne den Flächeninhalt eines Kreissegments mit
r
=
4
 
cm
μ
=
36°.
Skizze:
graphik
Vorgehensweise:
  • Flächeninhalt Kreissektor berechnen,
  • Flächeninhalt von ΔMAB bestimmen,
    • dazu zunächst Höhe von ΔMAB und
    • Länge der Kreissehne bestimmen.
  • Flächeninhalt von ΔMAB vom Flächeninhalt des Kreissektors abziehen.

  • Flächeninhalt Kreissektor:
    
    
A
Sektor
=
μ
360°
·
π
·
r
2
    
    
A
Sektor
=
36°
360°
·
π
·
4
2
    
    
A
Sektor
=
16
10
·
π
  • Höhe h von ΔMAB:
    
    
cos
 
μ
2
=
h
r
    
    
cos
 
36°
2
=
h
4
·
4
    
    
4
·
cos
 
18°
=
h
  • Halbe Kreissehne x:
    
    
sin
 
μ
2
=
x
r
    
    
sin
 
36°
2
=
x
4
·
4
    
    
4
·
sin
 
18°
=
x
  • Flächeninhalt von ΔMAB:
    
    
A
ΔMAB
=
1
2
·
2
·
x
·
h
    
    
A
ΔMAB
=
1
2
·
2
·
4
·
sin
 
18°
·
4
·
cos
 
18°
    
    
A
ΔMAB
=
16
·
sin
 
18°
·
cos
 
18°
  • Flächeninhalt Segment:
    
    
A
Segment
=
A
Sektor
−
A
ΔMAB
    
    
A
Segment
=
16
10
·
π
−
16
·
sin
 
18°
·
cos
 
18°
    
    
A
Segment
=
0,324…
 
cm
2
Siehe auch

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