Welche Formeln gelten für den Erwartungswert und die Standardabweichung der Trefferzahl X in einer Bernoulli-Kette?
In einer Bernoulli-Kette der Länge n und Treffer-Wahrscheinlichkeit p bezeichne die Zufallsgröße X die Trefferzahl. Dann gilt:
- Erwartungswert μ(X) =n·p
- Standardabweichung σ(X) = √ n·p·(1-p)
| ?% |
| ; |
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- 1. Schritt: Erwartungswert berechnen
| = |
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- 2. Schritt: Standardabweichung berechnen
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| = |
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| = |
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| 7,07 |
- 3. Schritt: 2σ-Intervall bestimmen
| = | 85,86 |
| = | 114,14 |
- 4. Schritt: Wahrscheinlichkeit des 2σ-Intervalls bestimmen
| = |
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| = |
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| = |
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| liegen. |
Die Zufallsgröße \(X\) sei binomialverteilt. Bestimme ...
a) ... \(n\) und \(\sigma\) für \(\mu=12\) und \(p=\frac{1}{4}\text{.}\)
b) ... \(n\) und \(p\) für \(\mu=40\) und \(\sigma=\sqrt{24}\text{.}\)
a) Man setzt \(\mu\) und \(p\) in die Formel für den Erwartungswert ein:
\(\mu=n\cdot p\)
\(12=n\cdot\frac{1}{4}\qquad|\cdot4\)
\(n=48\)
Mit \(n\) und \(p\) berechnet man die Standardabweichung:
\(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\)
\(\sigma=\sqrt{48\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{4}}=\sqrt{9}=3\)
b) Aus der Formel für den Erwartungswert folgt:
\(40=n\cdot p\)
In der Formel für \(\sigma\) ersetzt man \(n\cdot p\) durch \(40\) und schreibt \(q=1-p\text{:}\)
\(\sqrt{24}=\sqrt{40\cdot q}\qquad|\text{ quadrieren}\)
\(24=40\cdot q\qquad|:40\)
\(q=0{,}6\)
\(p=1-q=0{,}4\)
Mit \(p\) bestimmt man \(n\) aus der Gleichung für den Erwartungswert:
\(40=n\cdot0{,}4\qquad|:0{,}4\)
\(n=100\)
