Was sind die Sigmaregeln und unter welcher Bedingung sind sie zuverlässig?
Sigmaregeln zu gegebenen Umgebungen um den Erwartungswert:
- ca. 68,3% der Werte von X liegen im Intervall [μ-σ;μ+σ].
- ca. 95,5% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2σ;μ+2σ].
- ca. 99,7% der Werte von X liegen im Intervall [μ-3σ;μ+3σ].
Sigmaregeln zu ganzzahligen Sicherheitswahrscheinlichkeiten:
- 90% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,64σ;μ+1,64σ].
- 95% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,96σ;μ+1,96σ].
- 99% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2,58σ;μ+2,58σ].
Wenn die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregeln zuverlässige Werte.
Beispiel
Eine Münze wird 50-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Zahlen".
Gib ein Intervall an, in dem sicher 90% der Werte von X liegen.
Lösung:
| ; |
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90% der Werte liegen im Intervall |
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- 1. Schritt: Erwartungswert berechnen
| = |
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| = |
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| = |
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- 2. Schritt: Standardabweichung berechnen
| = |
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| = |
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| = |
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| 3,54 |
Bemerkung: Da σ(X) > 3, liefert die Sigma-Umgebung zuverlässige Werte.
- 3. Schritt: Intervall angeben
| = |
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| = |
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Mit einer Wahrscheinlichkeit 90% liegt die Anzahl der geworfenen "Zahlen" zwischen 19,19 und 30,81. Um auf jeden Fall auf der sicheren Seite zu sein, wird das Intervall nach außen gerundet: Also 19 ≤ X ≤ 31.)
