Sind erweiterter oder gekürzter Bruchterm und der ursprüngliche Bruchterm äquivalent?

Durch Erweitern bzw. Kürzen eines Bruchterms verkleinert bzw. vergrößert sich evtl. die Menge aller möglichen Einsetzungen. Darum sind der erweiterte/gekürzte Term und der ursprüngliche nicht von Haus aus äquivalent, sondern nur, wenn man sie auf die kleinere Definitionsmenge beider Terme bezieht.
Beispiel
Sind die beiden Terme   
6x
2
−
2x
3x
−
1
   und   2x   äquivalent und wenn ja für welche Einsetzungen?
Lösung: Nach dem Ausklammern von 2x im Zähler lässt sich mit 
3x
−
1
 kürzen.
6x
2
−
2x
3x
−
1
=
2x
 
3x
−
1
3x
−
1
=
2x
Der Term 2x geht also durch Umformung aus dem ursprünglichen Term hervor. Das reicht aber noch nicht, um zu sagen, dass beide Terme äquivalent sind. Ohne weitere Angaben wären sie es nicht, denn der erste Term ist für 
x
=
1
3
 nicht definiert (Nenner darf nicht null sein), während bei 2x alle Zahlen eingesetzt werden können. Schränkt man dagegen die Definitionsmenge von 2x "künstlich" ein, indem man 
x
=
1
3
 herausnimmt, gilt - bezogen auf diese Menge möglicher Einsetzungen - die Äquivalenz beider Terme. Mit anderen Worten:
6x
2
−
2x
3x
−
1
   und   2x   sind äquivalent für x ∈ Q\{1/3}.
Siehe auch

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