Wie bestimmt man die Gleichung einer Parabel, die durch drei Punkte festgelegt ist?
Eine Parabel lässt sich durch drei geeignete Punkte eindeutig festlegen. Durch das Einsetzen der drei Punkte in die Funktionsgleichung y = ax² + bx + c erhält man ein Gleichungssystem mit den drei Unbekannten a, b und c. Dieses kann mittels Einsetz- oder Subtraktionsverfahren gelöst werden.
Beispiel
Ermittle die Gleichung der Parabel durch folgende Punkte:
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y | = |
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A, B und C einsetzen:
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Da in allen drei Gleichungen "+c" auftritt, bietet sich an, die Variable c durch die Subtraktionsmethode zu elimieren. Man rechnet I−II und I-III und erhält damit jeweils eine Gleichung, in der nur noch a und b vorkommt:
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| = |
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Hier lässt sich z.B. die Variable b elimieren durch
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I`−5 | · | II` |
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| = |
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Eingesetzt (z.B.) in II`:
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Die dritte Variable c erhält man, indem man die Lösungen für a und b z.B. in Gleichung I einsetzt:
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| = |
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| = |
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Somit erhält man also die Gleichung
. Durch Zeichnung (z.B. mittels GeoGebra) lässt sich die Rechnung überprüfen. Da A, B und C auf der Parabel liegen, ist die Rechnung offenbar korrekt.
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