Welche Komponenten sind für die Normalengleichung einer Ebene notwendig?

Die allgemeine Normalengleichung der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor und einem Aufpunkt P.
Beispiel
Die Ebene E besitzt den Normalenvektor
 
n
=
−
1
−
1
4
 
und enthält den Punkt P(0|2|0).
Die allgemeine Normalengleichung der Ebene lautet
n
·
x
−
p
=
0
 
, wobei
n
 
der Normalenvektor und
p
 
 der Ortsvektor des Aufpunktes P ist.
Setzt man die Werte ein, ergibt sich
:
−
1
−
1
4
·
x
−
0
2
0
=
0
Durch Ausmultiplizieren erhalten wir die Koordinatengleichung der Ebene:
−
1
−
1
4
·
x
−
0
2
0
=
0
−
1
−
1
4
·
x
1
x
2
x
3
−
0
2
0
=
0
−
1
·
x
1
−
1
·
x
2
+
4
·
x
3
−
−
1
·
0
+
−
1
·
2
+
4
·
0
=
0
−
x
1
−
x
2
+
4
 
x
3
+
2
=
0
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Falls dich interessiert, WARUM die Ebenengleichung so berechnet werden kann, kannst du dir die Zeichnung anschauen und anhand dieser die Erklärung nachvollziehen:
graphik
Der Normalenvektor steht senkrecht zur Ebene. Für jeden beliebigen Punkt X der Ebene steht daher der Verbindungsvektor
 
PX
 
ebenso senkrecht zum Normalenvektor. Damit ist das Skalarprodukt beider Vektoren Null. Dies liefert die Normalengleichung der Ebene:
n
·
PX
=
0
n
·
X
−
P
=
0
Bemerkung: Wenn nicht der Normalenvektor, sondern zwei weitere Punkte Q und R der Ebene gegeben sind (siehe Bild),
muss der Normalenvektor zunächst über das Vektorprodukt der beiden Vektoren
 
PQ
 
und
 
PR
 
ermittelt werden.
Siehe auch

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