Wie leitet man die Normalenform einer Ebene aus drei gegebenen Punkten ab?

Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C eindeutig definiert (d.h. die Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen), so kann man einen der Punkte als Aufpunkt und das Vektorprodukt zweier Verbindungsvektoren als Normalenvektor für ihre Gleichung in Normalenform verwenden.
Beispiel
Gib für die Ebene E, die durch die drei Punkte A(2|2|-2), B(3|-3|-5) und C(5|-3|4) geht, eine Gleichung in Normalenform (Koordinatendarstellung) an.
Lösung:
  • Normalenvektor berechnen
AB
 
x
 
AC
=
1
−
5
−
3
 
x
 
3
−
5
6
=
−
30
−
15
−
9
−
6
−
5
+
15
=
−
45
−
15
10
=
−
5
·
9
3
−
2
n
E
Bemerkung: Die Länge und Orientierung des Normalenvektors ist unerheblich, daher wurden hier alle Koordinaten durch -5 geteilt, um einfachere Zahlen für die weiteren Berechnungen zu verwenden.
  • Gleichung in Normalenform, Vektordarstellung
Mit z.B. A als Aufpunkt der Ebene kann E beschrieben werden durch
E
:
X
−
2
2
−
2
 
∘
 
9
3
−
2
=
0
  • Umwandlung in Koordinatendarstellung
Durch Ausmultiplizieren des Skalarprodukts und Zusammenfassen der Konstanten erhält man die übliche Koordinatendarstellung:
E
:
9x
1
+
3x
2
−
2x
3
+
−
2
·
9
−
2
·
3
+
2
·
−
2
−
28
=
0
Siehe auch

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