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Zentrische Streckung - Vektoren, Parameterverfahren, Mathe-Übungen
Zahlen mit Vektoren multiplizieren um Koordinaten oder den Streckungsfaktor k zu bestimmen, Parameterverfahren für zentrisch gestreckte Geraden und Parabeln. - Lehrplan
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Bestimme die Vektorgleichung und spalte sie dann in zwei Gleichungen auf (x-Koordinate und y-Koordinate).
Beispielaufgabe
Zentrische Streckung mit Zentrum Z: Um den Streckungsfaktor k, den Punkt P oder den Bildpunkt P' zu ermitteln, gehst du im Prinzip immer gleich vor:
Bilde den Verbindungsvektor von Z und P', ebenso den von Z und P
Der erste Vektor ist gleich "k mal" der zweite (Gleichung)
Die Vektorgleichung kann jetzt in zwei Gleichungen aufgespaltet werden
Schließlich kann nach k oder den gesuchten Koordinaten aufgelöst werden
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Bestimme mithilfe von Vektoren rechnerisch den Bildpunkt der zentrischen Streckung.
Z(-3|0,5),
k
=
2,5
P(5|-4,5)
P'(
|
)
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Streckt man einen Vektor durch
zentrische Streckung
mit dem Streckungsfaktor
k
, dann erhält man die Koordinaten des Bildvektors, indem man die Koordinaten des Urvektors jeweils mit k multipliziert. Es gilt:
Der Bildvektor ist
|k|-mal
so lang wie der Urvektor
k>0: Ur- und Bildvektor haben die gleiche Richtung
k<0: Ur- und Bildvektor haben gegensätzliche Richtungen
Bild- und Urvektor sind immer parallel zueinander (oder identisch)
Beispiel
AB
=
2
−
1
soll mit
a)
k
=
0,5
b)
k
=
−
2
zentrisch gestreckt werden. Bestimme jeweils den Bildvektor
A'B'
und beschreibe sein Aussehen im Vergleich zum Urvektor.
Zentrische Streckung mit Zentrum Z: Um den Streckungsfaktor k, den Punkt P oder den Bildpunkt P' zu ermitteln, gehst du im Prinzip immer gleich vor:
Bilde den Verbindungsvektor von Z und P', ebenso den von Z und P
Der erste Vektor ist gleich "k mal" der zweite (Gleichung)
Die Vektorgleichung kann jetzt in zwei Gleichungen aufgespaltet werden
Schließlich kann nach k oder den gesuchten Koordinaten aufgelöst werden
Beispiel 1
Beispiel Bildpunkt:
Z(-1|1)
,
k
=
4
,
P(2|-3)
, bestimme den Bildpunkt
P'(x'|y')
.
Beispiel 2
Beispiel Urpunkt:
Z(-3|1)
,
k
=
2
,
P'(5|-4)
, bestimme den Urpunkt
P(x|y)
.
Beispiel 3
Beispiel Streckungsfaktor:
Z(2|4)
,
P(1|1)
,
P'(5|13)
bestimme den Streckungsfaktor
k
.
Mit dem Parameterverfahren Geraden und Parabeln zentrisch strecken:
Lautet die Geradengleichung z.B.
y = 2x + 3,
so haben alle Punkte P auf g die Koordinaten P(x|2x+3)
Bestimme jetzt P'(x'|y') mit derselben Methode, mit der sich Bildpunkte bei gegebenem Urpunkt bestimmen lassen.
Nach dem Lösen des Gleichungssystems erhältst du eine Gleichung der Art y'=...x'..., das ist die Gleichung der Bildgeraden.
Beispiel 1
Die Gerade
g: y
=
−
2x
+
1
soll zentrisch gestreckt werden mit
Z(5|5)
und
k
=
0,5
. Wie lautet die Gleichung der Bildgeraden
g'
?
Beispiel 2
Die Parabel
p: y
=
x
2
−
1
soll zentrisch gestreckt werden mit
Z(1|1)
und
k
=
2
. Wie lautet die Gleichung der Bildparabel
p'
?
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