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Zentrische Streckung - Vektoren, Parameterverfahren, Matheübungen
Zahlen mit Vektoren multiplizieren um Koordinaten oder den Streckungsfaktor k zu bestimmen, Parameterverfahren für zentrisch gestreckte Geraden und Parabeln. - Lehrplan
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Bestimme die Vektorgleichung und spalte sie dann in zwei Gleichungen auf (x-Koordinate und y-Koordinate).
Beispielaufgabe
Zentrische Streckung mit Zentrum Z: Um den Streckungsfaktor k, den Punkt P oder den Bildpunkt P' zu ermitteln, gehst du im Prinzip immer gleich vor:
Bilde den Verbindungsvektor von Z und P', ebenso den von Z und P
Der erste Vektor ist gleich "k mal" der zweite (Gleichung)
Die Vektorgleichung kann jetzt in zwei Gleichungen aufgespaltet werden
Schließlich kann nach k oder den gesuchten Koordinaten aufgelöst werden
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Bestimme mithilfe von Vektoren rechnerisch den Streckungsfaktor der zentrischen Streckung.
Z(-2|7)
P(2|1)
P'(-16|28)
k
=
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie wirkt sich eine zentrische Streckung auf Länge und Richtung eines Vektors aus und wie berechnet man die Koordinaten des Bildvektors?
#884
Streckt man einen Vektor durch
zentrische Streckung
mit dem Streckungsfaktor
k
, dann erhält man die Koordinaten des Bildvektors, indem man die Koordinaten des Urvektors jeweils mit k multipliziert. Es gilt:
Der Bildvektor ist
|k|-mal
so lang wie der Urvektor
k>0: Ur- und Bildvektor haben die gleiche Richtung
k<0: Ur- und Bildvektor haben gegensätzliche Richtungen
Bild- und Urvektor sind immer parallel zueinander (oder identisch)
Beispiel
AB
=
2
−
1
soll mit
a)
k
=
0,5
b)
k
=
−
2
zentrisch gestreckt werden. Bestimme jeweils den Bildvektor
A'B'
und beschreibe sein Aussehen im Vergleich zum Urvektor.
Wie bestimmt man bei einer zentrischen Streckung den Punkt P, den Bildpunkt P' oder den Streckungsfaktor k mit Vektoren?
#885
Zentrische Streckung mit Zentrum Z: Um den Streckungsfaktor k, den Punkt P oder den Bildpunkt P' zu ermitteln, gehst du im Prinzip immer gleich vor:
Bilde den Verbindungsvektor von Z und P', ebenso den von Z und P
Der erste Vektor ist gleich "k mal" der zweite (Gleichung)
Die Vektorgleichung kann jetzt in zwei Gleichungen aufgespaltet werden
Schließlich kann nach k oder den gesuchten Koordinaten aufgelöst werden
Beispiel 1
Beispiel Bildpunkt:
Z(-1|1)
,
k
=
4
,
P(2|-3)
, bestimme den Bildpunkt
P'(x'|y')
.
Beispiel 2
Beispiel Urpunkt:
Z(-3|1)
,
k
=
2
,
P'(5|-4)
, bestimme den Urpunkt
P(x|y)
.
Beispiel 3
Beispiel Streckungsfaktor:
Z(2|4)
,
P(1|1)
,
P'(5|13)
bestimme den Streckungsfaktor
k
.
Wie erhältst du die Gleichung einer Bildgerade oder Bildparabel bei einer zentrischen Streckung, wenn die Urgerade bzw. Urparabel durch ihre Gleichung gegeben sind?
#886
Mit dem Parameterverfahren Geraden und Parabeln zentrisch strecken:
Lautet die Geradengleichung z.B.
y = 2x + 3,
so haben alle Punkte P auf g die Koordinaten P(x|2x+3)
Bestimme jetzt P'(x'|y') mit derselben Methode, mit der sich Bildpunkte bei gegebenem Urpunkt bestimmen lassen.
Nach dem Lösen des Gleichungssystems erhältst du eine Gleichung der Art y'=...x'..., das ist die Gleichung der Bildgeraden.
Beispiel 1
Die Gerade
g: y
=
−
2x
+
1
soll zentrisch gestreckt werden mit
Z(5|5)
und
k
=
0,5
. Wie lautet die Gleichung der Bildgeraden
g'
?
Beispiel 2
Die Parabel
p: y
=
x
2
−
1
soll zentrisch gestreckt werden mit
Z(1|1)
und
k
=
2
. Wie lautet die Gleichung der Bildparabel
p'
?
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