Zentrische Streckung, Matheübungen

Zentrische Streckung einer Figur bei gegebenem Zentrum Z und Streckungsfaktor k. Ermittlung von Z und k anhand gegebener Figur und Bildfigur; Eigenschaften der zentrischen Streckung

Hilfe

  • Zentrische Streckung

    Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert (oder bleibt gleich). Dabei gilt:

    • Alle Streckenpaare von Urfigur und Bildfigur sind jeweils parallel (oder identisch).
    • Streckungszentrum Z, Urpunkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
    • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkelmaße gleich groß.
    • Der Streckungsfaktor k gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k |=| ZA'| : |ZA|.

    Was uns der Streckfaktor k sagt...:

    • k positiv ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf derselben Seite von Z.
    • k negativ ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf unterschiedlichen Seiten von Z.
    • |k| > 1 ⇒ Bildfigur ist vergrößert.
    • |k| < 1 ⇒ Bildfigur ist verkleinert.
    • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
    • Flächeninhalt der Bildfigur ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Urfigur.

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Zeichne die gegebene Figur in ein Koordinatensystem und führe die zentrische Streckung durch. Lies die Koordinaten der Bildpunkte ab. Die einzugebenden Zahlen sind ganz oder von der Art x,5.

  • Dreieck A(2|0), B(3|2), C(0|3).
    Streckungszentrum Z(0|0), Streckungsfaktor k=3.
    A'
     
     
    |
     
    B'
     
     
    |
     
    C'
     
     
    |
     
    GeoGebra
    GeoGebra
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Für diese Aufgabe steht dir GeoGebra zur Verfügung. Damit kannst du Konstruktionen direkt am Bildschirm durchführen.
  • Dreieck A(2|0), B(3|2), C(0|3), Streckzentrum Z(0|0), Streckfaktor k = 3
  • Wenn du mit der Konstruktion fertig bist, scrolle zurück nach oben und gib bei der Aufgabe das passende Ergebnis ein.
Zum Ändern der Größe gestrichelte Linie ziehen
Wie wirkt sich eine zentrische Streckung auf Länge und Richtung eines Vektors aus und wie berechnet man die Koordinaten des Bildvektors?
#884
Streckt man einen Vektor durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor k, dann erhält man die Koordinaten des Bildvektors, indem man die Koordinaten des Urvektors jeweils mit k multipliziert. Es gilt:
  • Der Bildvektor ist |k|-mal so lang wie der Urvektor
  • k>0: Ur- und Bildvektor haben die gleiche Richtung
  • k<0: Ur- und Bildvektor haben gegensätzliche Richtungen
  • Bild- und Urvektor sind immer parallel zueinander (oder identisch)
Beispiel
AB
=
2
−
1
 soll mit
a) 
k
=
0,5
b) 
k
=
−
2
 
zentrisch gestreckt werden. Bestimme jeweils den Bildvektor 
A'B'
 und beschreibe sein Aussehen im Vergleich zum Urvektor.
Was ist eine zentrische Streckung und welche Eigenschaften sowie Auswirkungen hat der Streckungsfaktor k?
#882

Zentrische Streckung

Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert (oder bleibt gleich). Dabei gilt:

  • Alle Streckenpaare von Urfigur und Bildfigur sind jeweils parallel (oder identisch).
  • Streckungszentrum Z, Urpunkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
  • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkelmaße gleich groß.
  • Der Streckungsfaktor k gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k |=| ZA'| : |ZA|.

Was uns der Streckfaktor k sagt...:

  • k positiv ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf derselben Seite von Z.
  • k negativ ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf unterschiedlichen Seiten von Z.
  • |k| > 1 ⇒ Bildfigur ist vergrößert.
  • |k| < 1 ⇒ Bildfigur ist verkleinert.
  • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
  • Flächeninhalt der Bildfigur ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Urfigur.

Beispiel 1
Strecke das Viereck ABCD am Streckungszentrum Z mit Streckungsfaktor k.
A
 
1
 
|
 
0
B
 
3
 
|
 
1
C
 
2
 
|
 
1
D
 
−
1
 
|
 
4
Streckungszentrum:
Z
 
−
2
 
|
 
2
Streckfaktor:
k=2.
Gib die Koordinaten der gestreckten Figur an.
Beispiel 2
Die blaue Figur ist aus der roten Figur durch eine zentrische Streckung entstanden. Zeichne die Figuren in ein Koordinatensystem und ermittle das Streckungszentrum Z und den Streckungsfaktor k.
graphik
Z
 
?
 
|
 
?
.
k=?
Wie erhältst du die Gleichung einer Bildgerade oder Bildparabel bei einer zentrischen Streckung, wenn die Urgerade bzw. Urparabel durch ihre Gleichung gegeben sind?
#886
Mit dem Parameterverfahren Geraden und Parabeln zentrisch strecken:
  • Lautet die Geradengleichung z.B. y = 2x + 3, so haben alle Punkte P auf g die Koordinaten P(x|2x+3)
  • Bestimme jetzt P'(x'|y') mit derselben Methode, mit der sich Bildpunkte bei gegebenem Urpunkt bestimmen lassen.
  • Nach dem Lösen des Gleichungssystems erhältst du eine Gleichung der Art y'=...x'..., das ist die Gleichung der Bildgeraden.
Beispiel 1
Die Gerade 
g: y
=
−
2x
+
1
 soll zentrisch gestreckt werden mit Z(5|5) und 
k
=
0,5
. Wie lautet die Gleichung der Bildgeraden 
g'
?
Beispiel 2
Die Parabel 
p: y
=
x
2
−
1
 soll zentrisch gestreckt werden mit Z(1|1) und 
k
=
2
. Wie lautet die Gleichung der Bildparabel 
p'
?
Wie bestimmt man bei einer zentrischen Streckung den Punkt P, den Bildpunkt P' oder den Streckungsfaktor k mit Vektoren?
#885
Zentrische Streckung mit Zentrum Z: Um den Streckungsfaktor k, den Punkt P oder den Bildpunkt P' zu ermitteln, gehst du im Prinzip immer gleich vor:
  • Bilde den Verbindungsvektor von Z und P', ebenso den von Z und P
  • Der erste Vektor ist gleich "k mal" der zweite (Gleichung)
  • Die Vektorgleichung kann jetzt in zwei Gleichungen aufgespaltet werden
  • Schließlich kann nach k oder den gesuchten Koordinaten aufgelöst werden
Beispiel 1
Beispiel Streckungsfaktor:
Z(2|4), P(1|1), P'(5|13) bestimme den Streckungsfaktor 
k
.
Beispiel 2
Beispiel Bildpunkt:
Z(-1|1), 
k
=
4
, P(2|-3), bestimme den Bildpunkt P'(x'|y').
Beispiel 3
Beispiel Urpunkt:
Z(-3|1), 
k
=
2
, P'(5|-4), bestimme den Urpunkt P(x|y).

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