Zentrische Streckung, Matheübungen

Zentrische Streckung einer Figur bei gegebenem Zentrum Z und Streckungsfaktor k. Ermittlung von Z und k anhand gegebener Figur und Bildfigur; Eigenschaften der zentrischen Streckung

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  • Zentrische Streckung

    Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert (oder bleibt gleich). Dabei gilt:

    • Alle Streckenpaare von Urfigur und Bildfigur sind jeweils parallel (oder identisch).
    • Streckungszentrum Z, Urpunkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
    • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkelmaße gleich groß.
    • Der Streckungsfaktor k gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k |=| ZA'| : |ZA|.

    Was uns der Streckfaktor k sagt...:

    • k positiv ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf derselben Seite von Z.
    • k negativ ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf unterschiedlichen Seiten von Z.
    • |k| > 1 ⇒ Bildfigur ist vergrößert.
    • |k| < 1 ⇒ Bildfigur ist verkleinert.
    • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
    • Flächeninhalt der Bildfigur ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Urfigur.

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  • Gegeben: Z, k, Urpunkt A, Bilpunkt 
    A'
    .
    Wenn ist, liegen A und 
    A'
     auf derselben Halbgeraden 
    [ZA'
    .
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keine Berechtigung
Wie wirkt sich eine zentrische Streckung auf Länge und Richtung eines Vektors aus und wie berechnet man die Koordinaten des Bildvektors?
#884
Streckt man einen Vektor durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor k, dann erhält man die Koordinaten des Bildvektors, indem man die Koordinaten des Urvektors jeweils mit k multipliziert. Es gilt:
  • Der Bildvektor ist |k|-mal so lang wie der Urvektor
  • k>0: Ur- und Bildvektor haben die gleiche Richtung
  • k<0: Ur- und Bildvektor haben gegensätzliche Richtungen
  • Bild- und Urvektor sind immer parallel zueinander (oder identisch)
Beispiel
AB
=
2
−
1
 soll mit
a) 
k
=
0,5
b) 
k
=
−
2
 
zentrisch gestreckt werden. Bestimme jeweils den Bildvektor 
A'B'
 und beschreibe sein Aussehen im Vergleich zum Urvektor.
Was ist eine zentrische Streckung und welche Eigenschaften sowie Auswirkungen hat der Streckungsfaktor k?
#882

Zentrische Streckung

Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert (oder bleibt gleich). Dabei gilt:

  • Alle Streckenpaare von Urfigur und Bildfigur sind jeweils parallel (oder identisch).
  • Streckungszentrum Z, Urpunkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
  • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkelmaße gleich groß.
  • Der Streckungsfaktor k gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k |=| ZA'| : |ZA|.

Was uns der Streckfaktor k sagt...:

  • k positiv ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf derselben Seite von Z.
  • k negativ ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf unterschiedlichen Seiten von Z.
  • |k| > 1 ⇒ Bildfigur ist vergrößert.
  • |k| < 1 ⇒ Bildfigur ist verkleinert.
  • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
  • Flächeninhalt der Bildfigur ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Urfigur.

Beispiel 1
Die blaue Figur ist aus der roten Figur durch eine zentrische Streckung entstanden. Zeichne die Figuren in ein Koordinatensystem und ermittle das Streckungszentrum Z und den Streckungsfaktor k.
graphik
Z
 
?
 
|
 
?
.
k=?
Beispiel 2
Strecke das Viereck ABCD am Streckungszentrum Z mit Streckungsfaktor k.
A
 
1
 
|
 
0
B
 
3
 
|
 
1
C
 
2
 
|
 
1
D
 
−
1
 
|
 
4
Streckungszentrum:
Z
 
−
2
 
|
 
2
Streckfaktor:
k=2.
Gib die Koordinaten der gestreckten Figur an.
Wie bestimmt man bei einer zentrischen Streckung den Punkt P, den Bildpunkt P' oder den Streckungsfaktor k mit Vektoren?
#885
Zentrische Streckung mit Zentrum Z: Um den Streckungsfaktor k, den Punkt P oder den Bildpunkt P' zu ermitteln, gehst du im Prinzip immer gleich vor:
  • Bilde den Verbindungsvektor von Z und P', ebenso den von Z und P
  • Der erste Vektor ist gleich "k mal" der zweite (Gleichung)
  • Die Vektorgleichung kann jetzt in zwei Gleichungen aufgespaltet werden
  • Schließlich kann nach k oder den gesuchten Koordinaten aufgelöst werden
Beispiel 1
Beispiel Urpunkt:
Z(-3|1), 
k
=
2
, P'(5|-4), bestimme den Urpunkt P(x|y).
Beispiel 2
Beispiel Bildpunkt:
Z(-1|1), 
k
=
4
, P(2|-3), bestimme den Bildpunkt P'(x'|y').
Beispiel 3
Beispiel Streckungsfaktor:
Z(2|4), P(1|1), P'(5|13) bestimme den Streckungsfaktor 
k
.
Wie erhältst du die Gleichung einer Bildgerade oder Bildparabel bei einer zentrischen Streckung, wenn die Urgerade bzw. Urparabel durch ihre Gleichung gegeben sind?
#886
Mit dem Parameterverfahren Geraden und Parabeln zentrisch strecken:
  • Lautet die Geradengleichung z.B. y = 2x + 3, so haben alle Punkte P auf g die Koordinaten P(x|2x+3)
  • Bestimme jetzt P'(x'|y') mit derselben Methode, mit der sich Bildpunkte bei gegebenem Urpunkt bestimmen lassen.
  • Nach dem Lösen des Gleichungssystems erhältst du eine Gleichung der Art y'=...x'..., das ist die Gleichung der Bildgeraden.
Beispiel 1
Die Gerade 
g: y
=
−
2x
+
1
 soll zentrisch gestreckt werden mit Z(5|5) und 
k
=
0,5
. Wie lautet die Gleichung der Bildgeraden 
g'
?
Beispiel 2
Die Parabel 
p: y
=
x
2
−
1
 soll zentrisch gestreckt werden mit Z(1|1) und 
k
=
2
. Wie lautet die Gleichung der Bildparabel 
p'
?

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