Zweite Ableitung/Krümmung/Wendepunkt - ganzrationale Funktionen - Matheaufgaben und Online-Übungen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 1

Bestimme die lokale Krümmung des Graphen an den Stellen x₁ und x₂.

−

Bei x

−

linksgekrümmt

rechtsgekrümmt

weder noch

Bei x

linksgekrümmt

rechtsgekrümmt

weder noch

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Zweite Ableitung und Krümmung

Kanal: Mathegym

Wie beeinflussen die Vorzeichen von f´ und f´´ den Graphenverlauf von f?

#514

f bzw G_f	f ´	f ´´
streng monoton zunehmend	positiv
streng monoton abnehmend	negativ
linksgekrümmt	streng monoton zunehmend	positiv
rechtsgekrümmt	streng monoton abnehmend	negativ

Wie erhält man die zweite Ableitung f´´ und unter welchen Bedingungen existiert sie?

#513

Leitet man f ab, so erhält man f ´ (erste Ableitung von f).

Leitet man f ´ ab, so erhält man f ´´ (zweite Ableitung von f).

Um f ´´ bilden zu können, muss f zweimal differenzierbar sein.

Wie bestimmt man den Funktionsterm einer Polynomfunktion n-ten Grades anhand gegebener Grapheneigenschaften?

#681

Eine ganzrationale Funktion n-ten Grades besitzt n+1 Unbekannte. Zur eindeutigen Bestimmung der Funktionsgleichung wird ein Gleichungssystem benötigt, das n+1 Gleichungen enthält.

Vorgehensweise, um die Funktionsgleichung zu bestimmen:

Schreibe die allgemeine Funktionsgleichung mit ihren Ableitungen auf.
"Übersetze" alle gegebenen Eigenschaften in mathematische Gleichungen.
Stelle das Gleichungssystem auf, indem du die Koordinaten in die gefundenen Gleichungen einsetzt.
Löse das Gleichungssystem
Setze die gefundene Lösung in die Funktionsgleichung ein

Beispiel 1

Eine Funktion 4. Grades hat verläuft durch den Ursprung und besitzt in H(2|3) einen Hochpunkt, in T(4|-2) einen Tiefpunkt. Reicht die gegebene Information aus, um die Gleichung der ganzrationalen Funktion eindeutig zu bestimmen?

Beispiel 2

Eine Funktion 2. Grades hat einen Tiefpunkt bei (0|1) und geht durch den Punkt P(2|9).

f(x)

Was ist ein Wendepunkt und wie bestimmt man ihn rechnerisch?

#517

Stellen, an denen sich die Krümmung eines Graphen ändert, nennt man Wendepunkte. Sofern f zweimal differenzierbar ist, gilt der Zusammenhang:

G_f besitzt einen Wendepunkt an der Stelle x = a

⇔

f ´´ (a) = 0 und Vorzeichenwechsel von f ´´ bei x = a

Beispiel

Bestimme sämtliche Wendepunkte von G_f sowie die Gleichung(en) ihrer Wendetangente(n).

−

45x

−

Wie bestimmt man die Krümmungsintervalle eines Funktionsgraphen?

#515

Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.

Beispiel

Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion