Mechanik - waagerechter Wurf, Physikübungen

zweidimensionale Bewegungen, Komponentenschreibweise, Geschwindigkeitsänderung - Lehrplan

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  • Gewehrschuss

    Im Modell des waagerechten Wurfs überlagern sich zwei Bewegungen: eine gleichförmige Bewegung in die waagerechte und eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung in die senkrechte Richtung. Mithilfe dieses Modells lässt sich die ballistische Flugbahn eines Projektils, wie sie bei einem horizontalen Gewehrschuss auftritt, physikalisch bzw. mathematisch beschreiben. Für die meisten waagerechten Gewehrschüsse sind die Berechnungen bzw. die Vorhersagen des Modells recht genau, weil etwa der im Modell vernachlässigte Wind beim Gewehrschuss meist kaum eine Rolle spielt.

    Jeder Gewehrschuss kann mit dem waagerechten Wurf modelliert werden.
    Der Wind ist bei den meisten waagerechten Gewehrschüssen kein großer Einflussfaktor.
    Im Modell des waagerechten Wurfs bewegt sich das Projektil insgesamt gleichförmig.
    Mithilfe des waagerechten Wurfs kann man die Flugbahn des Projektils exakt berechnen.
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Waagerechter Wurf
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Waagerechter Wurf

Kanal: LEIFI physik
Waagerechter Wurf − Modell

Ein Wurfobjekt wird waagerecht, also senkrecht zum Erdradius, aus einer bestimmten Höhe und mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit abgeworfen. Das Wurfobjekt erfährt in die senkrechte Richtung durch die Erdanziehungskraft die Beschleunigung g.

Die waagerechte und senkrechte Komponente der Bewegung überlagern sich dabei unabhängig (Superposition). Die Höhe in Abhängigkeit der Weite (Bahnkurve) des Wurfobjekts gleicht daher einer Parabel und lässt sich als quadratische Funktion schreiben.

Nach einer bestimmten Wurfdauer trifft das Wurfobjekt auf den Erdboden. Den waagerechten Abstand zwischen dem Abwurf- und Auftreffpunkt nennt man Wurfweite.

Während dem ganzen Wurf befindet sich das Wurfobjekt stets frei in der Luft. Das Modell vernachlässigt aber z.B. den Luftwiderstand und die Erdkrümmung.

Beispiel
Welche Bewegungen der Körper kann man mit einem waagerechten "Wurf" modellieren?

▇ Ein Skispringer "fliegt" nach dem Absprung Richtung Erdboden.
▇ Eine Bogenschützin schießt ihren Pfeil genau geradeaus ab.
▇ Yemisi Ogunleye stößt ihre Kugel genau 20,00 m weit.
▇ Jaroslawa Mahutschich überspringt beim Hochsprung 2,10 m.
Waagerechter Wurf − Formeln

Die folgenden Formeln gelten für einen Abwurf im Punkt \((0|y_0)\). Die Bewegung kann in ihren waagerechten und senkrechten Anteil aufgespalten werden:

x-Richtung:
  • \(x(t) = v_0 \ t\)
  • \(v_x(t) = v_0\)
  • \(a_x = 0\)

y-Richtung:
  • \(y(t) = y_0 - \dfrac 12 g \ t^2\)
  • \(v_y(t) = - g \ t\)
  • \(a_y = - g\)

Dabei sind
  • \(x(t)\) bzw. \(y(t)\) die Zeit-Ort-Funktionen,
  • \(v_x(t)\) bzw. \(v_y(t)\) die Zeit-Geschwindigkeit-Funktionen,
  • \(a_x\) bzw. \(a_y\) die Beschleunigungen,
  • \(v_0\) die Anfangsgeschwindigkeit (waagerecht),
  • \(y_0\) die Anfangshöhe (senkrecht),
  • \(g \) die Erdbeschleunigung.

Wurfdauer:
\(t_{ges} = \sqrt{\dfrac{2 \ y_0}{g}}\)

Wurfweite:
\(x_{max} = v_0 \cdot t_{ges}\)

Bahnkurve:
\(y(x) = -\dfrac 12 \ \dfrac{g}{{v_0}^2} \ x^2 + y_0\)

Bahngeschwindigkeit (Betrag):
\(v(t) = \sqrt{{v_0}^2 + g^2 \ t^2}\)
Beispiel 1
Ein Ball wird von einem \(80,0\ m\) hohen Turm mit der Anfangsgeschwindigkeit \(25,0\dfrac ms\) waagerecht abgeworfen. Berechne seinen Ort und seine Geschwindigkeit in x- und y-Richtung nach einer Sekunde.
Beispiel 2
Ein Ball wird aus einem Hochhaus horizontal mit \(25,0\dfrac ms\) abgeworfen und trifft \(80,0\ m\) vom Haus entfernt auf den Boden. Berechne die Wurfdauer und die Anfangshöhe.