Wenn man zu einem gegebenen Vektor \( \vec{v}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \) einen Vektor mit gleicher Richtung aber anderer Länge bestimmen möchte, geht man wie folgt vor:
Zuerst bestimmt man den Einheitsvektor des gegebenen Vektors. Er hat die Länge \(1\) und zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Vektor. Es gilt:
\[ \vec{v_0} = \frac{1}{|\vec{v}|}\cdot \vec{v} \text{ mit } |\vec{v}| = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \]
Soll der neue Vektor die Länge \(k\) besitzen, multipliziert man den Einheitsvektor mit \(k\):
\[ \vec{v_{neu}} = k \cdot \vec{v_0} \]
Der Vektor \( \vec{v_{neu}} \) hat damit dieselbe Richtung wie \( \vec{v} \), aber die gewünschte Länge \(k\).
Richtung: \(\vec{r} = \begin{pmatrix} -12\\0 \\5\end{pmatrix}\text{,}\) Länge: \(3\)
\(\Rightarrow\vec{u} = \frac{\class{mathjax-input mathjax-input-0}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}}{\class{mathjax-input mathjax-input-1}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}}\cdot \begin{pmatrix} \class{mathjax-input mathjax-input-2}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\\\class{mathjax-input mathjax-input-3}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}} \\5\end{pmatrix}\)
Bestimme den Vektor, der dieselbe Richtung wie der angegebene Vektor und die vorgegebene Länge hat:
\[ \vec{r} = \begin{pmatrix} -8\\0\\6 \end{pmatrix} \text{,}\qquad \text{Länge: }3 \]
