3.2 Die bedingten Wahrscheinlichkeiten PA(B) und PB(A), Matheübungen

Bedingte Wahrscheinlichkeit - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-12. Klasse)

Bestimme zunächst die Ast- und Pfadwahrscheinlichkeiten im abgebildeten Baumdiagramm und mit deren Hilfe dann die gefragten Wahrscheinlichkeiten.

  • Im Jahr 200X waren in Deutschland ungefähr 0,1 % der Bevölkerung mit HIV infiziert ("I" im unteren Baum). Mit Hilfe eines HIV-Tests kann festgestellt werden, ob eine Infektion vorliegt. Wenn ein Test eine Erkrankung anzeigt, nennt man das Ergebnis "positiv", unabhängig davon, ob die Krankheit tatsächlich vorhanden ist oder nicht. Bei einer mit HIV infizierten Person beträgt die Wahrscheinlichkeit 99,9 %, dass der Test positiv ausfällt. Wenn eine Person nicht infiziert ist, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit 99,7 %, dass der Test "negativ" ausfällt. (Quelle: ISB)
    graphik
    Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass
    (A) eine Person, deren Testergebnis positiv ist, tatsächlich infiziert ist.
    (B) eine Person, die nicht infiziert ist, laut Test positiv ist.
    (C) eine Person infiziert ist und der Test ein negatives Ergebnis liefert.
    P
     
    A
    =
         
    P
     
    B
    =
         
    P
     
    C
    =
    Notizfeld
    Notizfeld
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keine Berechtigung
Was versteht man unter den Wahrscheinlichkeiten P(A ∩ B), P_A(B) und P_B(A), wo treten sie im Baumdiagramm auf und wie berechnet man sie?
#377
Unterscheide sorgfältig zwischen
  • P(A ∩ B)
    = Wahrscheinlichkeit, dass A und B eintritt; im Baumdiagramm steht sie am Ende des A - B - bzw. B - A - Pfades.

  • PA(B)
    = Wahrscheinlichkeit von Ereignis B unter der Bedingung, dass auch A eintritt (eingetreten ist); im Baumdiagramm steht sie über dem Ast, der von A zu B führt.
    = P(A ∩ B) / P(A)

  • PB(A)
    = Wahrscheinlichkeit von Ereignis A unter der Bedingung, dass auch B eintritt (eingetreten ist); im Baumdiagramm steht sie über dem Ast, der von B zu A führt.
    = P(A ∩ B) / P(B)
Beispiel
Betrachte die Ereignisse B = "Person trägt Brille" und K = "Person ist kurzsichtig". Drücke mit Worten aus und markiere in einem Baumdiagramm:
P
 
B ∩ K
 
    
 
P
B
 
K
 
    
 
P
K
 
B
Beispiel
Von den 36 Frauen, die ohne Begleitung zu einer Single-Party kommen, sind fünf in Wirklichkeit schon in festen Händen. Jede sechste Frau auf der Party sieht nach Jans Meinung "toll" aus. Was er nicht weiß: Nur zwei von den "Tollen" sind noch zu haben. Bei einem Spiel wird Jan mit einer zufällig ausgewählten Frau bekannt gemacht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
  • eine tolle Frau noch zu haben ist? (= p1)
  • Jan die Frau toll findet? (= p2)
  • Jan die Frau toll findet, wenn sie schon vergeben ist? (= p3)
  • Jan die Frau nicht toll findet, sie aber noch zu haben ist? (= p4)