5.3 Die Quotientenregel und Untersuchung verknüpfter Funktionen, Matheübungen

Quotientenregel und Funktionsuntersuchungen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Produkt-/Quotientenregel und Kettenregel kombiniert: Schreibe dir zunächst noch einmal die Ableitungsregeln für die Ableitung verketteter Funktionen und für die Ableitung von Quotienten oder Produkten auf. Ordne dann die entsprechenden Funktionsteile zu.
  • Kettenregel:

    Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f ′(x) = g′( h(x) )⋅h′(x)

Gib die Ableitungsfunktion an. Achtung: es können mehrere Lösungen richtig sein!

  • f
     
    x
    =
    cos
    2
    x
    x
    2
    f ´
     
    x
    =
     
    −
    2
    ·
    cos
    x
    ·
    x
    ·
    sin
    x
    +
    cos
    x
    x
    3
     
    −
    2
    ·
    cos
    x
    ·
    x
    ·
    sin
    x
    +
    cos
    x
    x
    4
     
    −
    2x
    ·
    cos
    x
    ·
    x
    ·
    sin
    x
    +
    cos
    x
    x
    4
     
    −
    sin
    2
    x
    ·
    x
    2
    −
    cos
    2
    x
    ·
    2x
    x
    4
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keine Berechtigung
Was besagt die Quotientenregel in der Differentialrechnung?
#331
Quotientenregel:

Wenn f(x)= u(x) / v(x) dann ist f ′(x) = [ u′(x)⋅v(x) − u(x)⋅v′(x)] / [v(x)]2

Beispiel
Bestimme die Ableitung und gib sie vereinfacht an.
f
 
x
=
x
e
x
+
x
Wann und wie wird die Kettenregel in der Mathematik angewendet?
#329
Kettenregel:

Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f ′(x) = g′( h(x) )⋅h′(x)

Wie verhält sich die Exponentialfunktion exp(x) für x gegen plus oder minus unendlich?
#551
ex strebt
  • gegen 0 für x → −∞
  • gegen ∞ für x → ∞
Beispiel
lim
x → 1+
 
e
x
−
2
1
−
x
=
?
Beispiel
f
 
x
=
x
·
e
−
x
x
+
1
Bestimme
  • die maximale Definitionsmenge Dmax
  • die Nullstelle(n)
  • das Verhalten von f an den Rändern von Dmax
  • das Monotonieverhalten von f und die relativen Extrempunkte
Skizziere schließlich den Graphen von f unter Einbezug aller Teilergebnisse.