5.3 Die Quotientenregel und Untersuchung verknüpfter Funktionen, Matheübungen

Quotientenregel und Funktionsuntersuchungen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-11. Klasse)

Löse die Aufgabe Schritt für Schritt.

  • Gegeben ist die Funktion f mit 
    f
     
    x
    =
    e
    2x
    3x
    −
    1
    .
    a) Gib die maximale Definitionsmenge von f an.
    b) Untersuche das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs.
    c) Gib sämtliche Schnittpunkte von 
    G
    f
     mit den Achsen des Koordinatensystems an.
    d) Bestimme das Monotonieverhalten von f.
    e) Gib alle relativen Hoch- und Tiefpunkte von 
    G
    f
     an.
    f) Skizziere 
    G
    f
     unter Einbezug aller bisherigen Ergebnisse und gib die Wertemenge von f an.
    Schritt 1/10
    Zu a)
    D
    max
    =
    ℝ+
        
    ℝ
        
    ℝ \ {
    1
    3
    }
        
    ℝ \ {
    0
    }
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Quotientenregel:

Wenn f(x)= u(x) / v(x) dann ist f ′(x) = [ u′(x)⋅v(x) − u(x)⋅v′(x)] / [v(x)]2

Beispiel
Bestimme die Ableitung und gib sie vereinfacht an.
f
 
x
=
x
e
x
+
x
Kettenregel:

Wenn f(x) = g( h(x) ), dann ist f ′(x) = g′( h(x) )⋅h′(x)

ex strebt
  • gegen 0 für x → −∞
  • gegen ∞ für x → ∞
Beispiel
lim
x → 1+
 
e
x
−
2
1
−
x
=
?