Ableitung - ganzrationale Funktionen, Matheaufgaben

Ableitung von ganzrationalen Funktionen, inkl. Summen- und Faktorregel; betrachtet werden auch Funktionen mit Parametern - 35 Aufgaben in 8 Levels

Hilfe
  • Hilfe zur Aufgabe

    Leite jeden Term mit der Potenzregel ab: Der Exponent wird zum Faktor, anschließend verringerst du den Exponenten um eins. Beachte auch die Regel für die Ableitung einer Konstanten und vergleiche dann mit den Karten.

  • Zum Beispiel wird aus \(\displaystyle g(x)=0{,}4x^5\) die Ableitung \(\displaystyle g'(x)=0{,}4\cdot 5x^4=2x^4\). Multipliziere also einen vorhandenen Vorfaktor mit dem Exponenten und prüfe beim Zuordnen sowohl den Faktor als auch die Potenz.

  • Stoff zum Level
    Wenn f(x) = a · xm mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
    f ′(x) = a · m · x m−1.

    Spezialfälle:

    • f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
    • f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0

  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 7
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    • Gegeben sind folgende Terme für \(\displaystyle f'(x)\text{:}\)

    \(\displaystyle 2x\)\(\displaystyle 0\)\(\displaystyle 2\)\(\displaystyle 2x^2\)

    Ordne diese den passenden Termen \(\displaystyle f(x)\) zu. Lass eine Lücke leer, wenn keine Karte passt. Karten dürfen übrig bleiben.

    \(\displaystyle 2x\)
    \(\displaystyle 2\)
    \(\displaystyle x^3\)
    \(\displaystyle 0{,}5x^3\)
    \(\displaystyle x^2\)
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Wie lautet die Ableitung von f(x) = a·x^m und welche zwei Spezialfälle gibt es dazu?
#754
Wenn f(x) = a · xm mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
f ′(x) = a · m · x m−1.

Spezialfälle:

  • f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
  • f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0

Beispiel
f
 
x
=
1
2x
10
f ´
 
x
=
?
Wie kann ein gebrochen rationaler Term in eine ganzrationale Form umgewandelt werden und welchen Vorteil hat das beim Ableiten?
#750
Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
Beispiel
f
 
x
=
2x
7
−
3x
+
5
2x
f ´
 
x
=
?
Was folgt für die Ableitung und jede Stammfunktion einer ganzrationalen Funktion mit ungeradem Grad und negativem Leitkoeffizienten?
#845
Die Ableitung von a·xn ist a·n·xn−1. Für ganzrationale Funktionen gilt daher:
  • Wenn f den Grad n besitzt, dann besitzt die Ableitung f´ den Grad n−1 und jede Stammfunktion F den Grad n+1. Insbesondere ist der Grad von f´ und F damit ungerade, falls der Grad von f eine gerade Zahl ist und umgekehrt.
  • Wenn der Leitkoeffizient von f(x), also der Faktor vor der höchsten x-Potenz, eine positive bzw. negative Zahl ist, dann gilt das auch für die Leitkoeffizienten von f´ und F.
Beispiel
Abgebildet ist der Graph der ganzrationalen Funktion f. Setze den Term der Ableitung f´(x) richtig zusammen. Wähle dazu aus der ersten und letzten Spalte jeweils den passenden Teilterm aus (in der Mitte steht immer 4x).
f´(x)
=
x
4
x
5
−
x
4
−
x
5
+
4x
 
+
 
x
+
 
1
−
 
1
graphik

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