Ganzrationale Funktionen - Grad, Koeffizienten, Verlauf im Unendlichen, Symmetrie, Matheaufgaben

Verhalten im Unendlichen; Skizze des Graphen anhand von Grad und Leitkoeffizient, Symmetrie zum Koordinatensystem - 46 Aufgaben in 8 Levels

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    Ein ganzrationaler Term kann evtl. in faktorisierter Form vorliegen, d.h. als Produkt von mehreren Teiltermen (jeder davon ebenfalls ganzrational). Um die übliche Darstellung zu erhalten (Summe von x-Potenzen mit jeweiligem Koeffizient), muss man die Klammern ausmultiplizieren. Dabei ist das Distributivgesetz ("jeder mit jedem") anzuwenden.
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 8
  • Multipliziere aus und gib dann die gefragten Koeffizienten an. Schreibe evtl. auftretende Brüche in der Form "a/b" oder "-a/b".
  • Zwischenschritte aktiviert
    • f
     
    x
    =
    3x
    +
    2
    ·
    1
    −
    5x
    a
    0
    =
    		 ▉ 
    a
    1
    =
    		 ▉ 
    a
    2
    =
    		 ▉ 
    mit a
    i
     
    ist der Koeffizient vor x
    i
     
    gemeint
    Schritt 1 von 2
    Multipliziere und vereinfache. Gib Variablenpotenzen inder Form "a^n" an.
    3x
    +
    2
    ·
    1
    −
    5x
    =
Beispiel
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Ganzrationale Funktionen
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Ganzrationale Funktionen

Kanal: Mathegym
Wie erkennt man Achsen- und Punktsymmetrie bei Funktionen, insbesondere bei ganzrationalen Funktionen?
#758
  • Achsensymmetrie zur y-Achse:
Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
f(x) = f(-x)

  • Punktsymmetrie zum Ursprung:
Für alle x aus dem Definitionsbereich gilt:
-f(x) = f(-x)

  • Spezialfall: ganzrationale Funktionen

f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur gerade Exponenten auftauchen.
Also gilt:
Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse.

-f(x) = f(-x) gilt genau dann, wenn nur ungerade Exponenten auftauchen.
Also gilt:
Hat eine ganzrationale Funktion nur x-Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

  • Hinweis:
Die einzige Funktion deren Graph sowohl achsensymmetrisch zur y-Achse also auch punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist f(x)=0.
Beispiel
Untersuche, ob der Graph der Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
a) 
f
 
x
=
x
−
2
·
x
+
2
b) 
f
 
x
=
−
0,4x
3
+
2x
c) 
f
 
x
=
0,1x
−
0,3
·
0,5
−
2x
Welche Eigenschaften hat der Graph einer ganzrationalen Funktion mit nur ungeraden Exponenten und einem negativen Leitkoeffizienten?
#1524

Ganzrationale Funktion:

\(f(x)=a_nx^n+\dots+a_1x+a_0\) mit \(a_n\neq0\)

Der Grad ist die höchste auftretende Potenz, \(a_n\) heißt Leitkoeffizient

Nullstellen und Vielfachheit:

In der Form \(f(x)=a\,(x-x_1)^{k_1}\cdot\ldots\cdot(x-x_m)^{k_m}\)

\(x_i\) sind Nullstellen, \(k_i\) sind die Vielfachheiten

Die Summe der Vielfachheiten aller reellen Nullstellen ist höchstens so groß wie der Grad. 

ungerade Vielfachheit: Vorzeichenwechsel

gerade Vielfachheit: Berührung der \(x\)-Achse

Verhalten im Unendlichen:

Entscheidend sind nur Grad und Leitkoeffizient:

\(n\) gerade: beide Enden des Graphen zeigen in die gleiche Richtung

\(n\) ungerade: beide Enden des Graphen zeigen in entgegengesetzte Richtungen

\(a_n>0\): Graph verläuft nach rechts oben 

\(a_n<0\): Graph verläuft nach rechts unten

Symmetrie:

achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse: \(f(-x)=f(x)\), nur gerade Potenzen

punktsymmetrisch zum Ursprung: \(f(-x)=-f(x)\), nur ungerade Potenzen

Punktsymmetrie bedeutet stets eine Nullstelle bei \(0\)

Beispiel

Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse und hat bei \(x=3\) eine doppelte Nullstelle. Er verläuft von links unten nach rechts unten.

Gib eine passende Funktionsgleichung an.

Wie bestimmt man das Verhalten des Graphen einer ganzrationalen Funktion an den Rändern?
#312
Bei einer ganzrationalen Funktion entscheidet die größte x-Potenz mitsamt ihrem Koeffizienten, von wo der Graph kommt und wohin er geht:
  • Exponent ungerade, Koeffizient positiv (z.B. 5x³): von links unten nach rechts oben
  • Exponent ungerade, Koeffizient negativ (z.B. -2x): von links oben nach rechts unten
  • Exponent gerade, Koeffizient positiv (z.B. ½x²): von links oben nach rechts oben
  • Exponent gerade, Koeffizient negativ (z.B. -x²): von links unten nach rechts unten
Was ist eine ganzrationale Funktion und welche Begriffe sind damit verbunden?
#311
Der Term f(x) einer ganzrationalen Funktion (synonym: Polynomfunktion) besteht aus einer Summe von x-Potenzen, denen reelle Faktoren vorangestellt sind, wie z.B.


½ x³ + 3x² − 5

Die höchste x-Potenz bestimmt den Grad, im Beispiel oben beträgt dieser 3. Die vor den x-Potenzen stehenden reellen Faktoren (½; 3; -5) nennt man Koeffizienten. Taucht eine x-Potenz gar nicht auf, so ist der entsprechende Koeffizient 0.

Beispiel
f(x)
=
4
7
−
x
2
+
2
 
x
4
Gib den Grad und die auftretenden Koeffizienten ai an (mit ai ist der Faktor vor xi gemeint)
Wie bestimmt man den Grad einer ganzrationalen Funktion in Summen- und Produktform?
#314
Um den Grad anzugeben, schaut man auf die höchste x-Potenz (sofern der Term als Summe von x-Potenzen mit jeweiligem Koeffizient vorliegt).

Liegt der Term faktorisiert vor, muss man pro Faktor die größte x-Potenz heranziehen. Es ist (für die Bestimmung des Grads) nicht erforderlich, alle Klammern auszumultiplizieren.

Beispiel
Bestimme den Grad von
a) 
f
 
x
=
1
−
x
+
4x
5
−
1
2
 
x
3
b) 
f
 
x
=
1
−
x
2
·
1
+
2x
−
3x
3
Was bedeutet die faktorisierte Form ganzrationaler Funktionen und wie wird sie in Summenform umgewandelt?
#313
Ein ganzrationaler Term kann evtl. in faktorisierter Form vorliegen, d.h. als Produkt von mehreren Teiltermen (jeder davon ebenfalls ganzrational). Um die übliche Darstellung zu erhalten (Summe von x-Potenzen mit jeweiligem Koeffizient), muss man die Klammern ausmultiplizieren. Dabei ist das Distributivgesetz ("jeder mit jedem") anzuwenden.
Beispiel
f
 
x
=
1
2
 
x
−
3
·
x
+
1
3
2
. Multipliziere aus und gibt die Koeffizienten 
a
0
, a
1
, a
2
 usw. an, die vor 
x
0
, x
1
, x
2
 usw. stehen.

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