Koordinatengeometrie im Raum - Punkte und Vektoren, Matheaufgaben

Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem, Darstellen von Punkten und einfachen Körpern, Vektoren und deren Länge - 56 Aufgaben in 11 Levels

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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
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    Der Abstand zweier Punkte A und B (= Entfernung) ist gleich der Länge ihres Verbindungsvektors.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 9
  • Berechne die fehlende Koordinate \(a\), sodass die Punkte \(A\) und \(B\) den vorgegebenen Abstand \(d\) besitzen.

    • \(\overrightarrow{OA}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \, \overrightarrow{OB}= \begin{pmatrix} -7 \\ 0 \\ a \end{pmatrix}, \, d=5\sqrt{3}\)

    \(a=\class{mathjax-input mathjax-input-1}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}} \,\text{oder}\, a=\class{mathjax-input mathjax-input-2}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\)

    Hinweis: Gib die möglichen Koordinaten der Größe nach geordnet an.

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Stoff zum Thema
Wie lauten die Koordinaten der Spiegelpunkte von P(p1 | p2 | p3) an den Achsen und Ebenen des Koordinatensystems?
#443
Spiegelung von P(p1 | p2 | p3) an der...
  • x1-Achse ⇒ P ´ (p1 | −p2 | −p3)
  • x2-Achse ⇒ P ´ (−p1 | p2 | −p3)
  • x3-Achse ⇒ P ´ (−p1 | −p2 | p3)
  • der x1x2-Ebene ⇒ P ´ (p1 | p2 | −p3)
  • der x1x3-Ebene ⇒ P ´ (p1 | −p2 | p3)
  • der x2x3-Ebene ⇒ P ´ (−p1 | p2 | p3)
Wie berechnet man die Länge eines Vektors?
#446
Die Länge eines Vektors erhält man, indem man seine Koordinaten quadriert, summiert und dann die Wurzel zieht. Die Vorzeichen der Koordinaten spielen dabei keine Rolle.
Beispiel
Berechne die Länge von
 
a
=
5
−
3
 
und
 
b
=
1
4
7
Wie berechnet man die Koordinaten eines Vektors von Punkt A nach Punkt B?
#444
Die Koordinaten des Vektors mit Fuß in A und Spitze in B erhält man durch die Rechnung "Spitze − Fuß", also

b1 − a1
b2 − a2
b3 − a3

Beispiel
Bestimme die Verbindungsvektoren von A(7|1) nach B(2|4) und von P(1|2|3) nach Q(3|-1|4)
AB
=
?
?
;
PQ
=
?
?
?
Wie bestimmt man den Oktanten eines Punktes im 3D-Koordinatensystem?
#1480

Ein Punkt \( P(p_1 \mid p_2 \mid p_3) \) im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt

  • im I. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 > 0 \)
  • im II. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 > 0 \)
  • im III. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 > 0 \)
  • im IV. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 > 0 \)
  • im V. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 < 0 \)
  • im VI. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 < 0 \)
  • im VII. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 < 0 \)
  • im VIII. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 < 0 \text{.}\)
Beispiel
Gib an, in welchem Oktant der Punkt \( P(-1|-2|-5) \) liegt.
Wie erkennt man die Lage eines Punktes P(p1 | p2 | p3) bezüglich der Achsen und Ebenen im Koordinatensystem?
#442
Ein Punkt P(p1 | p2 | p3) im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt
  • auf der x1-Achse, wenn p2 = p3 = 0
  • auf der x2-Achse, wenn p1 = p3 = 0
  • auf der x3-Achse, wenn p1 = p2 = 0
  • in der x1x2-Ebene, wenn p3 = 0
  • in der x1x3-Ebene, wenn p2 = 0
  • in der x2x3-Ebene, wenn p1 = 0
Punkte auf der x1-Achse liegen erst recht in der x1x2-Ebene und in der x1x3-Ebene. Für Punkte auf der x2-Achse und auf der x3-Achse gilt dies analog.
Wie wird der Abstand zweier Punkte mittels eines Vektors bestimmt?
#599
Der Abstand zweier Punkte A und B (= Entfernung) ist gleich der Länge ihres Verbindungsvektors.
Beispiel
Welchen Abstand haben die Punkte A(1|-3|-7) und B(-2|3|-6) von einander?

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