Mittlere und lokale Änderungsrate - Matheaufgaben und Online-Übungen

Hilfe

Beispiel zum Level

Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
Stoff zum Level

Graphisch lässt sich die mittlere Änderungsrate im Intervall [a; b] als Steigung der Geraden (Sekante) durch die entsprechenden Punkte des Graphen veranschaulichen.
Die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a ist folglich die Steigung der Geraden (Tangente), die den Graph im entsprechenden Punkt berührt. Man stelle sich zum besseren Verständnis ein winziges Intervall [a; b] und die zugehörige Sekante vor. Lässt man das Intervall weiter schrumpfen, also b gegen a gehen, wird aus der Sekante eine Tangente.
Tipp zum Level
Halte einen Stift als passende Sekante vor den Bildschirm, verschiebe ihn dann - ohne die Steigung zu ändern - so, dass er durch einen Gittepunkt geht. Jetzt kannst du die Steigung abzählen.
Gesamtstoff zum Thema
Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1

Schätze die mittlere Änderungsrate im angegebenen Intervall ab. Verwende dazu GeoGebra oder einen Stift, den du knapp vor den Bildschirm hältst. Ergebnis(se) mit 1 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.

Intervall [1; 1,75]:

≈

Achte auf das Vorzeichen!

Wenn du ein Benutzerkonto hast, logge dich bitte zuvor ein.

GeoGebra

Beispiel

Hilfe

Notizen

Zeichen

GeoGebra-Editor

Für diese Aufgabe steht dir GeoGebra zur Verfügung. Damit kannst du Konstruktionen direkt am Bildschirm durchführen.

Keine Zugriffsberechtigung

Geogebra steht nur angemeldeten Benutzern mit gültiger Lizenz zur Verfügung.

Lösung

Achtung

Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt die Aufgabe als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diesen Level verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.

Stoff zum Thema (+Video)

Lernvideo

Mittlere und lokale Änderungsrate - Teil 1

Kanal: Mathegym

Lernvideo

Mittlere+lokale Änderungsrate - Teil 2

Kanal: Mathegym

Lernvideo

Mittlere+lokale Änderungsrate - Teil 3

Kanal: Mathegym

Wie lassen sich die mittlere und lokale Änderungsrate graphisch interpretieren?

#397

Graphisch lässt sich die mittlere Änderungsrate im Intervall [a; b] als Steigung der Geraden (Sekante) durch die entsprechenden Punkte des Graphen veranschaulichen.

Die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a ist folglich die Steigung der Geraden (Tangente), die den Graph im entsprechenden Punkt berührt. Man stelle sich zum besseren Verständnis ein winziges Intervall [a; b] und die zugehörige Sekante vor. Lässt man das Intervall weiter schrumpfen, also b gegen a gehen, wird aus der Sekante eine Tangente.

Beispiel

Schätze die mittlere Änderungsrate im angegebenen Intervall bzw. die lokale Änderungsrate an der gegebenen Stelle ab.

Intervall [-1; 5]:

≈ ?

Stelle x

m ≈ ?

Wie berechnet man die mittlere Änderungsrate einer Funktion und welcher synonyme Begriff ist dafür gebräuchlich?

#396

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [a; b] ergibt sich durch

[ f(b) − f(a) ] / ( b − a)

Aufgrund seiner Struktur nennt man diesen Term auch Differenzenquotient.

Beispiel

(1) Maximilian war Ende Januar 1,35 m groß und Ende Juni 1,37 m. Wie groß ist in diesem Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate?

(2) Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate der Normalparabel mit Scheitel im Ursprung im Intervall [3;7]?

Wie ist der Zusammenhang zwischen dem Differenzenquotienten und der lokalen Änderungsrate?

#640

Rechnerisch ergibt sich die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a, indem man den Grenzwert des Differenzenquotienten

[ f(a+h) − f(a) ] / h

für h → 0 (h ≠ 0) bestimmt. Diesen Grenzwert (sofern er existiert) nennt man Differentialquotient.

Beispiel

Berechne die lokale Änderungsrate an der Stelle a.

f(x)

−

;

−

Wie bestimmt man die lokale Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle x_0 mit Differenzenquotienten?

#844

Man kann auch die lokale Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle x₀ mit Hilfe geeigneter Differenzenquotienten bestimmen. Man berechnet dazu

[ f(x) − f(x₀) ] / (x − x₀)

für x-Werte, die sich von links und von rechts an x₀ annähern. Erläuterung: die zugehörigen Sekanten gleichen dadurch immer mehr der Tangente an der Stelle x=x₀.