Normalverteilung - Gauß'sche Glockenfunktion, Matheaufgaben

Bedeutung der Parameter μ (Mittelwert) und σ (Standardabweichung), Bestimmung von μ und σ anhand dem Term der Glockenfunktion bzw. ihres Graphen

Hilfe

  • Eine Gauß'sche Glockenfunktion besitzt den in der Abbildung dargestellten Graphen und Term:
    • Lage des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
    μ gibt die x-Koordinate des Hochpunkts und die Lage der senkrechten Symmetrieachse an.
    • Form des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
    Je größer σ ist, desto "breiter" wird der Graph. σ gibt an, wie weit die Wendestellen von der Extremstelle entfernt sind. Damit die Fläche unter dem Graphen den Inhalt 1 beibehält, muss er mit zunehmender Streckung in x-Richtung entlang der y-Achse gestaucht werden.
TIPP GeoGebra: Für diese Aufgabe steht dir GeoGebra zur Verfügung. Damit kannst du Konstruktionen direkt am Bildschirm durchführen. Klicke unten rechts auf das orange GeoGebra-Symbol, um die Aufgabe mit Hilfe von GeoGebra zu bearbeiten.

Entscheide, welche der Aussagen über Gauß'sche Glockenfunktionen und deren Integralfunktionen zutreffen.

  • φ
    μ;
     
    σ
     
    x
    =
    1
    σ
    2π
    ·
    e
    −
    x
    −
    μ
    2
    2σ
    2
     mit 
    μ
     
    ∈
     
    ℝ
     und 
    σ
     
    >
     
    0
     ist ein Funktionsterm einer Gauß'schen Glockenfunktion. Für sie gilt:
    lim
    x
     
    →
     
    +
    ∞
     
    φ
    μ;
     
    σ
     
    x
    =
     
    lim
    x
     
    →
     
    −
    ∞
     
    φ
    μ;
     
    σ
     
    x
    =
     
    Begründung: Der Exponent des zweiten Faktors von 
    φ
    μ;
     
    σ
     
    x
     geht für 
    x
     
    →
    +
    ∞
     gegen und für 
    x
     
    →
    −
    ∞
     gegen
    Zudem gilt
    GeoGebra
    GeoGebra
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Für diese Aufgabe steht dir GeoGebra zur Verfügung. Damit kannst du Konstruktionen direkt am Bildschirm durchführen.
  • Verwende die Schieberegler, um die Parameter der Gauß'schen Glockenfunktion zu verändern.
  • Wenn du mit der Konstruktion fertig bist, scrolle zurück nach oben und gib bei der Aufgabe das passende Ergebnis ein.
Zum Ändern der Größe gestrichelte Linie ziehen
Wie lautet der Term einer Gauß'schen Glockenfunktion und wie beeinflussen μ und σ die Lage und Form ihres Graphen?
#1307

Eine Gauß'sche Glockenfunktion besitzt den in der Abbildung dargestellten Graphen und Term:
  • Lage des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
μ gibt die x-Koordinate des Hochpunkts und die Lage der senkrechten Symmetrieachse an.
  • Form des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
Je größer σ ist, desto "breiter" wird der Graph. σ gibt an, wie weit die Wendestellen von der Extremstelle entfernt sind. Damit die Fläche unter dem Graphen den Inhalt 1 beibehält, muss er mit zunehmender Streckung in x-Richtung entlang der y-Achse gestaucht werden.
Beispiel
Entscheide, ob der folgende Term zu einer Gauß'schen Glockenfunktion gehören kann, und ermittle gegebenenfalls passende Werte für die Parameter μ und σ:
φ
 
x
=
2
2π
·
e
−
2x
2
+
2x
−
0,5

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