Potenzfunktionen - natürlicher Exponent - Matheaufgaben und Online-Übungen

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 7 in Level 1

Wie verläuft der Graph?

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Stoff zum Thema (+Video)

Lernvideo

Potenzfunktionen vom Grad n

Kanal: Mathegym

Wie beeinflussen der Vorfaktor a und der Exponent n in der Funktionsgleichung y=ax^n den Verlauf des Graphen einer Potenzfunktion?

#716

Bei einer Potenzfunktion mit der Funktionsgleichung y=axⁿ entscheidet die Hochzahl n zusammen mit dem Vorfaktor a, von wo der Graph kommt und wohin er geht:

n ungerade, a positiv (z.B. 5x³): Graph verläuft von links unten nach rechts oben.
n ungerade, a negativ (z.B. -2x): Graph verläuft von links oben nach rechts unten.
n gerade, a positiv (z.B. ½x²): Graph verläuft von links oben nach rechts oben.
n gerade, a negativ (z.B. -x²): Graph verläuft von links unten nach rechts unten.

Beispiel

Wie verläuft der Graph?

Was versteht man unter einer Potenzfunktion und welche charakteristischen Eigenschaften und Spezialfälle hat sie?

#715

Potenzfunktionen sind Funktionen der Form:
y = axⁿ

Spezialfälle:

n = 0 (konstante Funktion): y = a, Graph: waagerechte Gerade
n = 1 (lineare Funktion): y = ax, Graph: Ursprungsgerade mit Steigung a
n = 2 (quadratische Funktion): y = ax², Graph: gestauchte / gestreckte Parabel mit Scheitel S ( 0 | 0 )

Die Graphen von Potenzfunktionen haben charakteristische Eigenschaften, die oft davon abhängen, ob die Hochzahl n gerade oder ungerade ist.

Wertemenge:
n gerade: keine negativen Zahlen
n ungerade: alle reellen Zahlen
Symmetrie:
n gerade: Achsensymmetrie zur y-Achse
n ungerade: Punktsymmetrie zum Ursprung
Vorfaktor a
Der Wert des Parameters a ist der Funktionswert an der Stelle x = 1.
a>0: Streckung / Stauchung in y-Richtung
a<0: zusätzliche Spiegelung an der x-Achse

Beispiel

Gib die zugehörige Funktionsgleichung an

Beispiel

Das erste Beispiel in folgendem Video zeigt, wie man die Funktionsgleichung einer Potenzfunktion durch zwei Punkte ermittelt, wenn einer der beiden Punkte die x-Koordinate 1 hat.

Wie bestimmt man die fehlende Koordinate eines Punktes auf einem Graphen, wenn die Funktionsgleichung bekannt ist?

#717

Wenn von einem Punkt auf dem Schaubild nur die x-Koordinate bekannt ist, erhält man die y-Koordinate, indem man die x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzt und den Wert des Funktionsterms berechnet. Das Ergebnis ist die y-Koordinate.

Wenn von einem Punkt auf dem Schaubild nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und aus der entstehenden Gleichung x bestimmt. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.

Wie bestimmt man die Schnittpunkte der Graphen zweier Potenzfunktionen?

#881

Die Graphen-Schnittpunkte zweier Potenzfunktionen der Art a·xⁿ erhält man, indem man der Reihe nach...

(wie üblich) die beiden Funktionsterme zunächst gleichsetzt,
mit der linken Seite subtrahiert, so dass eine "...=0"-Gleichung entsteht,
auf der linken Seite die kleinere der beiden x-Potenzen ausklammert,
die beiden Faktoren (x-Potenz und Klammer dahinter) nacheinander gleich null setzt.

Bemerkung: Beide Graphen schneiden sich immer im Ursprung des Koordinatensystems. Ob es weitere Schnittpunkte gibt und wie viele, erkennt man, indem man die Graphen skizziert. Beachte beim Lösen auch die symmetrischen Eigenschaften der Graphen, damit sparst du dir Rechenarbeit.

Beispiel